Cho tam giác ABC vuông tại A , BC=a . Gọi I là giao điểm ba đương phân giác của tam giác . Gọi r là khoảng cách từ I đến BC
Chứng minh rằng : \(\frac{r}{a}\le\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
16 tháng 5 2016
a/ \(S_{IBC}=\frac{1}{2}.BC.IH=\frac{1}{2}.a.r\)
b/
Từ I hạ IK vuông góc với AC tại K và IE vuông góc với AB tại E
Xét tam giác vuông BIH và tam giác vuông BIE có
Cạnh huyền BI chung
^HBI=^EBI (BI là phân giác ^ABC)
=> tam giác BHI = tam giác BEI (hai tam giác vuông có cạnh huyền và góc nhon tương ứng bằng nhau)
=> IH=IE (1)
Xét tam giác vuông CHI và tam giác vuông CKI, chứng minh tương tự => IH=IK (2)
Từ (1) và (2) => IH=IE=IK=r
=> \(S_{ABC}=S_{IBC}+S_{IAC}+S_{IAB}=\frac{1}{2}.BC.IH+\frac{1}{2}.AC.IK+\frac{1}{2}.AB.IE\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}.a.r+\frac{1}{2}.b.r+\frac{1}{2}.c.r=\frac{a+b+c}{2}.r\)
TN
1 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{ax}\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{by}\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{cz}\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(\le\sqrt{\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}=\sqrt{2S_{ABC}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}\)
\(=\sqrt{\frac{abc}{2R}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}=\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{2R}}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}\)