Cho ΔABC có M nằm trên cạnh BC sao cho CM = \(\frac{1}{2}\) BC K là trung điểm AM, đặt \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}\) . Chứng minh: \(\overrightarrow{BK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}\) . Gọi I là điểm trên cạnh AC sao cho \(\overrightarrow{AI}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}\) . Chứng minh : B, I, K thẳng hàng.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(\Delta ABC\) có:
\(M\) là trung điểm \(AB\)
\(D\) là trung điểm \(BC\)
\(\Rightarrow\) \(MD\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\) \(MD\)\(=\)\(\dfrac{1}{2}AC\) và \(MD\) //\(AC\)
Ta có:
\(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MD}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{KD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NM}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{KD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AM}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\ \Rightarrow\overrightarrow{KD}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
Em ms hok cái này nên ko chắc lăm ạ :D
Theo quy tắc 3 điểm\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MN}\)
Có I là TĐ của BC\(\Rightarrow\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{BC}=0\) (1)
Có I là TĐ của MN \(\Rightarrow\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{MN}=0\) (2)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrowđpcm\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {PN} \) là hai vecto cùng hướng và \(\frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {PN} } \right|\)
\( \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {PN} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AP} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {AN} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {CA} \) là hai vecto cùng hướng và \(2\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right|\)
\( \Rightarrow 2\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {CA} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} \)
a)
- \(\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\) (t/c trung điểm)
\(=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\)
- \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}\)
\(=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)\)
\(=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}\)
\(=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow{BK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\right)=\frac{4}{3}\overrightarrow{BI}\)
=> B,K,I thẳng hàng
c) \(27\overrightarrow{MA}-8\overrightarrow{MB}=2015\overrightarrow{MC}\)
\(\Leftrightarrow27\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}\right)-8\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}\right)=2015\overrightarrow{MC}\)
\(\Leftrightarrow27\overrightarrow{MC}+27\overrightarrow{CA}-8\overrightarrow{MC}-8\overrightarrow{CB}-2015\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow-1996\overrightarrow{MC}+27\overrightarrow{CA}-8\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow1996\overrightarrow{CM}=8\overrightarrow{CB}-27\overrightarrow{CA}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CM}=\frac{8\overrightarrow{CB}-27\overrightarrow{CA}}{1996}\)
Vậy: Dựng điểm M sao cho \(\overrightarrow{CM}=\frac{8\overrightarrow{CB}-27\overrightarrow{CA}}{1996}\)
Có vẻ không đúng.
Giả sử \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow M\equiv B\) (Vô lí)
a/ \(\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
\(=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)
Hmm, MN làm sao vuông góc vs BC đc. Nó chỉ vuông góc khi M là TĐ của AC thôi, bởi N là trung điểm của BC rồi mà, hại não :((
2/\(\overrightarrow{BK}=\frac{4}{13}\overrightarrow{BA}\Rightarrow\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CK}=\frac{4}{13}\overrightarrow{BC}+\frac{4}{13}\overrightarrow{CA}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CK}=\frac{9}{13}\overrightarrow{CB}+\frac{4}{13}\overrightarrow{CA}\)
\(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\)
Ta có : \(\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\Rightarrow3\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{18}\overrightarrow{CA}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{6}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{18}\overrightarrow{CA}\)
\(=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{CA}\)
Có \(\overrightarrow{CK}=\frac{18}{13}\overrightarrow{CG}\Rightarrow\) C,G,K thẳng hàng