cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác.c/m a\(^3\)+b\(^3\)+3abc\(\ge\)c\(^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SO
0
K
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 4 2021
Do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c>0\\a+c-b>0\\b+c-a>0\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\)
\(=\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(=\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)>0\) (đpcm)
NH
1
16 tháng 12 2022
a^3+b^3+c^3-3abc=0
=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc=0
=>(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2-3ab)=0
=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
=>a=b=c
PG
7 tháng 2 2020
\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự:\(b^2< bc+ab;c^2< ca+cb\)
Cộng lại có đpcm
NQ
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2023
Lời giải:
BĐT $\Leftrightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(*)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(a+b-c)(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2$
$(b+c-a)(c+a-b)\leq \left(\frac{b+c-a+c+a-b}{2}\right)^2=c^2$
$(a+b-c)(a+c-b)\leq \left(\frac{a+b-c+a+c-b}{2}\right)^2=a^2$
Nhân theo vế 3 BĐT trên:
$[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2\geq (abc)^2$
$\Rightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ (BĐT $(*)$ được cm)
Ta có đpcm.
G
25 tháng 3 2019
Đặt: \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2c=x+y\\2a=y+z\\2b=x+z\end{cases}}\)
\(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(2A=\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\)
\(2A=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge6\)
\(\Leftrightarrow A\ge3."="\Leftrightarrow a=b=c\)
QN
0
HP
20 tháng 7 2016
\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(=>\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc=0\)
\(=>\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\)
\(=>\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(=>\left(a+b+c\right).\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(=>\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a,b,c đều lớn hơn 0
\(=>a+b+c\ne0\)
\(=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(=>2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(=>\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(=>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\left(1\right)\)
Vì : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}=>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0}\) (với mọi a,b,c)
Để (1) thì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}=>a=b=c}\)
Vậy tam giác đã cho là tam giác đều
11 tháng 9 2023
Dấu => thứ 3 mình không hiểu í ạ. Có thể giải thích đc kh ạ?
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)+3abc-c^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-c^3-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+ac+bc\right)-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left[\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+c^2+ac+bc\right]\ge0\) (1)
Do a; b; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn đúng
Nhưng dấu "=" ko xảy ra nên BĐT đã cho bị sai :(
\(a^3+b^3+3abc\ge c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3abc-c^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3ab^2+3abc-3a^2b-3ab^2-c^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-c^3-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+ca+bc\right)-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab+ca+bc\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[\left(a-b\right)^2+\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2\right]\ge0\)
( luôn đúng với \(a;b;c\) là 3 cạnh tam giác )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=c\\\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a=-c;b=-c\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Mà \(a;b;c>0\Leftrightarrow a+b=c\)