cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác.c/m a\(^3\)+b\(^3\)+3abc\(\ge\)c\(^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 4 2021
Do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c>0\\a+c-b>0\\b+c-a>0\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\)
\(=\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(=\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)>0\) (đpcm)
16 tháng 12 2022
a^3+b^3+c^3-3abc=0
=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc=0
=>(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2-3ab)=0
=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
=>a=b=c
PG
7 tháng 2 2020
\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự:\(b^2< bc+ab;c^2< ca+cb\)
Cộng lại có đpcm
NQ
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2023
Lời giải:
BĐT $\Leftrightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(*)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(a+b-c)(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2$
$(b+c-a)(c+a-b)\leq \left(\frac{b+c-a+c+a-b}{2}\right)^2=c^2$
$(a+b-c)(a+c-b)\leq \left(\frac{a+b-c+a+c-b}{2}\right)^2=a^2$
Nhân theo vế 3 BĐT trên:
$[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2\geq (abc)^2$
$\Rightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ (BĐT $(*)$ được cm)
Ta có đpcm.
G
25 tháng 3 2019
Đặt: \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2c=x+y\\2a=y+z\\2b=x+z\end{cases}}\)
\(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(2A=\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\)
\(2A=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge6\)
\(\Leftrightarrow A\ge3."="\Leftrightarrow a=b=c\)
QN
0
HP
20 tháng 7 2016
\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(=>\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc=0\)
\(=>\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\)
\(=>\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(=>\left(a+b+c\right).\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(=>\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a,b,c đều lớn hơn 0
\(=>a+b+c\ne0\)
\(=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(=>2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(=>\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(=>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\left(1\right)\)
Vì : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}=>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0}\) (với mọi a,b,c)
Để (1) thì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}=>a=b=c}\)
Vậy tam giác đã cho là tam giác đều
11 tháng 9 2023
Dấu => thứ 3 mình không hiểu í ạ. Có thể giải thích đc kh ạ?
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)+3abc-c^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-c^3-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+ac+bc\right)-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left[\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+c^2+ac+bc\right]\ge0\) (1)
Do a; b; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn đúng
Nhưng dấu "=" ko xảy ra nên BĐT đã cho bị sai :(
\(a^3+b^3+3abc\ge c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3abc-c^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3ab^2+3abc-3a^2b-3ab^2-c^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-c^3-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+ca+bc\right)-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab+ca+bc\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[\left(a-b\right)^2+\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2\right]\ge0\)
( luôn đúng với \(a;b;c\) là 3 cạnh tam giác )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=c\\\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a=-c;b=-c\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Mà \(a;b;c>0\Leftrightarrow a+b=c\)