CMR nếu \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\) và x = y + z thì \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 12 2016
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2.\left(-\frac{1}{xy}-\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2.\frac{x-y-z}{xyz}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)
16 tháng 8 2017
Ờm thì đại khái như vầy , dùng thêm hằng cao cấp mới chơi được =))
Link : Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ – Wikipedia tiếng Việt
Dùng hằng mở rộng số 4
Ta có :
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow ayz+bxz+cxy=0\) (1)
Lại có :
\(\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)^2=\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1^2=1\) (chỗ này dùng cái skill mở rộng)
<=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\left(\frac{xyc}{abc}+\frac{ayz}{abc}+\frac{bzx}{abc}\right)=1\)
<=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1\)
Thay 1 vào
=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}=1\)
3 tháng 12 2018
\(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right)^2=1\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}-\frac{2}{xz}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1+\frac{2}{xy}-\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1+\frac{2z-2x+2y}{xyz}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1+\frac{2z-2\left(y+z\right)+2y}{xyz}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1+0=1\)
PN
2 tháng 12 2015
Ta có:
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{xyz}{abc}\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\left(đpcm\right)\)
4 tháng 11 2017
vì x+y+z=1nên
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)
nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)
dau = xay ra khi x=y=z=1/3