Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi đường tròn (AOD) cắt AC tại E khác A. Lấy điểm F trên cạnh BC sao cho EF // CD. Chứng minh rằng:
a) EF.BD = AB.DE b) Tiếp tuyến tại E của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC chia đôi AF.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi đường tròn (BIC) cắt BD trại G khác B. Trên đoạn AD lấy E' sao cho AE' = AF.
Xét \(\Delta\)AIF và \(\Delta\)AIE': AF = AE', ^IAF = ^IAE', AI chung => \(\Delta\)AIF = \(\Delta\)AIE' (c.g.c) => IF = IE'
Xét (BIC): ^FBG nội tiếp, BI là phân giác ^FBG, I thuộc (BIC) => (IF = (IG => IF = IG. Từ đó IG = IE'
Dễ thấy: ^IE'A = ^IFA (Do \(\Delta\)AIF = \(\Delta\)AIE') => ^IFB = ^IE'D hay ^IE'D = ^IGD
Từ đó: ^GID = ^E'ID (Vì ^IDE' = ^IDG), kết hợp với IG = IE', cạnh ID chung => \(\Delta\)DGI = \(\Delta\)DE'I (c.g.c)
Suy ra: DG = DE'. Ta lại có: ^CAB = ^CDB; ^CFB = ^CGB => ^FCA = ^GCD
Xét \(\Delta\)CFA và \(\Delta\)CGD: CA = CD; ^CAF = ^CDG; ^FCA = ^GCD => \(\Delta\)CFA = \(\Delta\)CGD (g.c.g)
=> AF = DG. Mà DG = DE' nên AF = DE'. Do đó: DE' = AE' => E' là trung điểm AD => E' trùng E
Như vậy AE = AF và IF = IE suy ra AI là trung trực của EF hay AI vuông góc EF (đpcm),
a) Ta thấy: Điểm K nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)BDE nên tứ giác DKBE nội tiếp đường tròn
=> ^BEK = ^BDK (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BK) hay ^AEK = ^FDK
Mà tứ giác DKFC nội tiếp đường tròn => ^FDK = ^FCK
Nên ^AEK = ^FCK hay ^AEK = ^ACK => Tứ giác AKCE nội tiếp đường tròn
=> ^KAE = ^KCD (Cùng bù ^KCE) hay ^KAB = ^KCD
Do tứ giác BKDE nội tiếp đường tròn nên ^KDE = ^KBA hay ^KBA = ^KDC
Xét \(\Delta\)DKC và \(\Delta\)BKA có: ^KAB = ^KCD; ^KBA = ^KDC => \(\Delta\)DKC ~ \(\Delta\)BKA (g.g)
=> \(\frac{KC}{KA}=\frac{KD}{KB}\Rightarrow\frac{KC}{KD}=\frac{KA}{KB}\).
Đồng thời ^DKC = ^BKA => ^DKC + ^BKC = ^BKA + ^BKC => ^BKD = ^AKC
Xét \(\Delta\)KBD và \(\Delta\)KAC có: ^BKD = ^AKC; \(\frac{KC}{KD}=\frac{KA}{KB}\)=> \(\Delta\)KBD ~ \(\Delta\)KAC (c.g.c)
=> ^KBD = ^KAC hoặc ^KBF = ^KAF => Tứ giác AKFB nội tiếp đường tròn
=> ^BKF = ^BAF (2 góc nội tiếp chắn cung BF) => ^BKF = ^BAC = ^BDC (Do ^BAC và ^BDC cùng chắn cung BC) (1)
Ta có: ^BDC = ^FDC = ^FKC (Cùng chắn cung FC) (2)
Xét \(\Delta\)BMC: ^BMC + ^MBC + ^MCB = 1800. Mà ^MBC = ^BAC; ^MCB = ^BDC (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Nên ^BAC + ^BDC + ^BMC = 1800 (3)
Thế (1); (2) vào (3) ta được: ^BKF + ^FKC + ^BMC = 1800 => ^BKC + ^BMC = 1800
=> Tứ giác BKCM nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Ta có: ^BKF = ^BDC (cmt) => ^BKF = ^BDE = ^BKE (Do tứ giác DKBE nội tiếp đường tròn)
Mà 2 điểm F và E nằm cùng phía so với BK => 3 điểm K;F;E thẳng hàng. Hay F nằm trên KE (*)
Mặt khác: ^BKF = ^CKF (Vì ^BKF = ^BAC; ^CKF = ^BDC; ^BAC = ^BDC)
=> ^BKE = ^CKE (Do K;F;E thẳng hàng) => ^KE là phân giác của ^BKC (4)
Xét tứ giác BKCM nội tiếp đường tròn: ^MBC = ^MKC; ^MCB = ^MKB
Lại có: \(\Delta\)BCM cân ở M do MB=MC (T/c 2 tiếp tuyến giao nhau) => ^MBC=^MCB
Từ đó: ^MKC = ^MKB => KM là phân giác của ^BKC (5)
Từ (4) và (5) suy ra: 3 điểm K;M;E thẳng hàng. Hoặc M nằm trên KE (**)
Từ (*) và (**) => 3 điểm E;M;F thẳng hàng (đpcm).
a: ΔOAC cântại O
mà OI là trung tuyến
nên OI vuông góc AC
góc OIE+góc OBE=180 độ
=>OIEB nội tiếp
b: góc ACB=1/2*180=90 độ
=>CB vuông góc AE
=>EB^2=EC*EA
Em không vẽ được hình, xin thông cảm
a, Ta có góc EAN= cungEN=cung EC+ cung EN
Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)
=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)
=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
b,Ta có EC=EB=EM
Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM
MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180
=> AME = ABE
=> tam giác ABE= tam giác AME
=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A
Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM
CMTT => AC vuông góc EN
MÀ AC giao BM tại M
=> M là trực tâm tam giác AEN
Vậy M là trực tâm tam giác AEN
c, Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH
Vì M là trực tâm của tam giác AEN
=> \(EN\perp AN\)
Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)
=> \(EN//OI\)
MÀ O là trung điểm của EH
=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )
=> tứ giác AMNH là hình bình hành
=> AH=MN
Mà MN=NC
=> AH=NC
=> cung AH= cung NC
=> cung AH + cung KC= cung KN
Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )
NBK là góc nội tiếp chắn cung KN
=> gócKMC=gócKBN
Hay gócKMC=gócKBM
=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)
Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK
a) Bổ đề: Cho đường tròn (O) có dây cung AB và điểm C nằm bên trong đường tròn. Giả sử CO là phân giác góc ACB. Khi đó CA = CB. (Phép chứng minh Bổ đề rất đơn giản, không trình bày tại đây)
Giải bài toán: Vì 4 điểm A,E,O,F cùng thuộc một đường tròn nên ^OED = ^OAD = ^ODA = ^OEC
Áp dụng Bổ đề ta thu được ED = EC. Ta thấy ^ECF = ^ACB = ^BDA; ^CEF = ^ACD = ^DBA
Suy ra \(\Delta\)EFC ~ \(\Delta\)BAD (g.g), từ đây EF.BD = AB.EC = AB.DE (Vì ED = EC) (đpcm).
b) Gọi I là trung điểm đoạn AF, ta sẽ chứng minh rằng EI là tiếp tuyến của (BEC). Thật vậy:
Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa E, lấy K sao cho \(\Delta\)BKA ~ \(\Delta\)BED. Khi đó:
\(\frac{KA}{ED}=\frac{BA}{BD}\). Từ câu a có \(\frac{BA}{BD}=\frac{EF}{ED}\). Do đó KA = EF (1)
Dễ thấy ^KAD = ^BAD + ^BDE = ^BAD + ^OAC - ^ODB = ^BAD + 900 - ^ADC - 900 + ^BCD = ^ABC
Suy ra ^KAD + ^ADC = 1800 tức là AK // CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKFE là hình bình hành. Lúc này E,I,K thẳng hàng.
Từ đó ^BCE = ^BCA = ^BDA = ^BEK = ^BEI (Vì \(\Delta\)BKE ~ \(\Delta\)BAD (c.g.c))
Vậy EI là tiếp tuyến của (BEC) hay tiếp tuyến tại E của (BEC) chia đôi AF (đpcm).