choa,b,c >0
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
H
Hung
9 tháng 9 2019
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
4 tháng 7 2017
a/ \(\frac{b}{b}.\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\frac{c}{c}.\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\frac{a}{a}.\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)
\(\le\frac{1}{b}.\left(\frac{3b^2+a^2}{4}\right)+\frac{1}{c}.\left(\frac{3c^2+b^2}{4}\right)+\frac{1}{a}.\left(\frac{3a^2+c^2}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{4}.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{3}{4}.\left(a+b+c\right)\)
Ta cần chứng minh
\(\frac{1}{4}.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{3}{4}.\left(a+b+c\right)\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge\left(a+b+c\right)\)
Mà: \(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Vậy có ĐPCM.
Câu b làm y chang.
PT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 6 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Nguyễn Bảo Trân - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
4.
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
5.
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
1.
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
2.
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
3.
Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:
\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)
17 tháng 6 2019
đề bài
cm
1/a+2 + 1/b+2 +1/c+2 <=1
bn p viết đề chứ???
##thiêndi###
10 tháng 10 2019
b) Ta có:
\(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^2+3}{8}+\frac{a^2}{2}\)\(\ge\)\(4\sqrt[4]{\frac{a^4}{16}}=2a\)
\(\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^2+3}{8}+\frac{b^2}{2}\ge4\sqrt[4]{\frac{b^4}{16}}=2b\)
\(\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{a^2+3}{8}+\frac{c^2}{2}\ge4\sqrt[4]{\frac{c^4}{16}}=2c\)
Cộng lại ta đươc:
\(2\left(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}\right)+\)\(\frac{5\left(a^2+b^2+c^2\right)+9}{8}\)\(\ge2\left(a+b+c\right)\)
⇒ \(2\left(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}\right)\ge\)\(6-\frac{5\left(a^2+b^2+c^2\right)+9}{8}\)(1)
Lại có: \(a^2+1\ge2a\); \(b^2+1\ge2b\); \(c^2+1\ge2c\)
Suy ra \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c\right)-3=3\)
Khi đó (1)⇔ \(2\left(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}\right)\ge\)\(6-\frac{5.3+9}{8}=3\)
⇒ \(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 10 2019
\(\left(a^2+3b^2\right)\left(1+3\right)\ge\left(a+3b\right)^2\Rightarrow\sqrt{a^2+3b^2}\ge\frac{a+3b}{2}\)
\(\Rightarrow P=\sum\frac{ab}{\sqrt{a^2+3b^2}}\le2\sum\frac{ab}{a+3b}=2\sum\frac{ab}{a+b+b+b}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{8}\sum ab\left(\frac{1}{a}+\frac{3}{b}\right)=\frac{1}{8}\sum\left(3a+b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)
"=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)