Question

[masterpro]

cmr 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n>1/2

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

Có lẽ đề là n nguyên dương:v

Với \(n=1\) thì \(\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2\cdot1}=1>\frac{1}{2}\)

Giả sử bài toán đúng với \(n=k\) khi đó:\(A_k=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+....+\frac{1}{2k}\)

Ta cần chứng minh bài toán đúng với \(n=k+1\) thật vậy:
\(A_{k+1}=\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+4}+....+\frac{1}{2k+2}\)

\(A_{k+1}=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+.....+\frac{1}{2k}\right)+\left(\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k+1}\right)\)

\(A_{k+1}=A_k+\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)>\frac{1}{2}\) vì \(A_k>\frac{1}{2};\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}>0\) với mọi k nguyên dương.

Vậy bài toán được chứng minh.