CM \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)
Biết \(n\ge2\) và \(n\inℕ\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 12 2018
Sau khi ib với Hoàng Nguyễn thì đề bài như sau
Tìm \(n\inℕ\)biết
\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=11\)
ĐKXĐ: n > 1
Ta đi c/m bài toán tổng quát
\(\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{a-1}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}{a-a+1}\)
\(=\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\)
Áp dụng vào bài toán đc
\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=11\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=11\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n-1}-1=11\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n-1}=12\)
\(\Leftrightarrow n-1=144\)
\(\Leftrightarrow n=145\left(TmĐKXĐ\right)\)
Vậy n = 145
28 tháng 8 2018
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\) (pp trục căn thức ở mẫu)
\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n^2+2n+1-n^2-n\right)}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng tính: \(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+....+\frac{1}{400\sqrt{399}+399\sqrt{400}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{399}}-\frac{1}{\sqrt{400}}\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{400}}=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}\)
Vậy S = 19/20
10 tháng 10 2016
ta thấy \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>...>\frac{1}{\sqrt{n}}\)nên \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)>\(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)=\(\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\)
với mọi k thuộc N ta luôn có
\(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}< \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\)=\(\frac{2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)}{k-k+1}=2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\)
áp dụng tính chất này ta có
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)<2(\(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}\)+...+\(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\))=\(2\left(\sqrt{n}-\sqrt{0}\right)=2\sqrt{n}\)
27 tháng 8 2018
Mình đã chứng minh \(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\left(n\inℕ^∗\right)\) rồi nha!
Áp dụng vào, ta được: \(\frac{1}{2\sqrt{1}}< \sqrt{1}\)
\(\frac{1}{2\sqrt{2}}< \sqrt{2}-\sqrt{1}\)
\(\frac{1}{2\sqrt{3}}< \sqrt{3}-\sqrt{2}\)
.............................
\(\frac{1}{2\sqrt{2500}}< \sqrt{2500}-\sqrt{2499}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2500}}\)
\(< 2\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2500}-\sqrt{2499}\right)\)
\(=2.50=100\)
=> ĐPCM
P/s: sai sót xin bỏ qua cho.
Ta chứng minh BĐT sau : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
Áp dụng BĐT trên, ta có :
\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)=2\sqrt{n}\)