Cho a,b,c>0. CMR:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge4\left(a+b+c\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT Schwarz ta có:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left(2\left(a+b+c\right)\right)^2}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)
Dấu ''='' xảy ra bạn tự giải nha.
VD
11 tháng 2 2018
bđt cần c/m <=>
\(\frac{1}{\left(a+c-b-c\right)^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}+\frac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2}\ge4\\ \)
\(\frac{1}{\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2-2}+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2\ge4\\ \)
\(\frac{1}{\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2-2}+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2-2\ge2\)(đúng , theo cô-si)
ok
16 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(\Rightarrow VP\le4\left(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\frac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\frac{1}{2}=2\sqrt{ab}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có ;
\(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(VT\ge VP\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Chúc bạn học tốt !!!
3 tháng 11 2019
Áp dụng bđt Cauchy ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(\Rightarrow VP\le4\left(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy ta cso :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\frac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\frac{1}{2}=2\sqrt{ab}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(VT\ge VP\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Chúc bạn học tốt !!!
G
23 tháng 2 2019
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 1 2020
Lời giải khác:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^2+(b+c)^2=a^2+\frac{(b+c)^2}{4}+\frac{3(b+c)^2}{4}$
$\geq a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^2$
$\Rightarrow \frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}\leq \frac{4a}{4a+3b+3c}$
Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz:
$\frac{4a}{4a+3b+3c}=\frac{4a}{a+\frac{a+b+c}{3}+...+\frac{a+b+c}{3}}\leq \frac{1}{100}.4a\left(\frac{1}{a}+\frac{3}{a+b+c}+...+\frac{3}{a+b+c}\right)$
$=\frac{1}{25}+\frac{27a}{25(a+b+c)}$
Tương tự với những phân thức còn lại và cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{3}{25}+\frac{27}{25}=\frac{6}{5}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
T
9 tháng 8 2019
2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số \(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.
Giả sử đó là a2 - 1 và b2 - 1. Khi đó \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\) (2)
Mà \(4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\) (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)
Từ (2) và (3) ta có đpcm.
Sai thì chịu
T
9 tháng 8 2019
Xí quên bài 2 b:v
b) Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0\)
Suy ra \(a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}\)
Hay \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)\)
Suy ra \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)\)
\(\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunhiacopxki) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
RD
29 tháng 4 2019
Không mất tính tổng quát giả sử \(0\le\)a<b<c
Ta có:\(ab+bc+ca\ge bc\)
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=\frac{1}{\left(b-a\right)^2}\ge\frac{1}{b^2}\)
TT\(\Rightarrow\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{1}{c^2}\)\(\Rightarrow VT\ge bc\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(VT\ge\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{bc}{\left(b-c\right)^2}\)
Đặt \(b^2+c^2=x;bc=y\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x-2y}\)
Ta cm:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x-2y}\ge4\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge4xy-8y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2\ge0\left(real\right)\)
=>đpcm
"="<=>a=0;\(b^2+c^2=3xy\) và các hoán vị
N
29 tháng 4 2019
Áp dụng BĐT Svarxơ:
\(\left(ab+bc+ca\right).\Sigma\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\ge\left(ab+bc+ca\right).\frac{9}{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}\)
Ta cần c/m:
\(\frac{9\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}\ge4\)
\(\Rightarrow9\left(ab+bc+ca\right)\ge4\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow17\left(ab+bc+ca\right)\ge8\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Bt làm đến đây thôi.
Nguyễn Việt Lâm Làm tiếp với.
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+4c\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{c}\cdot4c}=4\left(a+b\right)\\ \frac{\left(b+c\right)^2}{a}+4a\ge2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{a}\cdot4a}=4\left(b+c\right)\\ \frac{\left(c+a\right)^2}{b}+4b\ge2\sqrt{\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\cdot4b}=4\left(c+a\right)\\ \Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}+4\left(a+b+c\right)\ge8\left(a+b+c\right)\\ \Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge4\left(a+b+c\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)