Cho a,b,c>0 chứng minh \(\frac{a}{b\:\:}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{c+a}+\frac{b+c}{a+b}+\frac{c+a}{b+c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
8 tháng 1 2021
hơn 1 năm rồi không ai làm :'(
a) Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)(2)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)(3)
Nhân (1), (2), (3) theo vế
=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8\left|abc\right|=8abc\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
11 tháng 12 2016
a) Đặt: \(b+c=x;c+a=y;a+b=z\)
Có: \(x+y-z=b+c+c+a-a-b=2c\)
=> \(c=\frac{x+y-z}{2}\)
Tương tự ta cũng có:
\(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2}\)
Có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
=\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)-3\right]\) (1)
Áp dụng bđt cô si ta có:
\(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge2;\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2;\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\ge2\)
=> \(\left(1\right)\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
11 tháng 12 2016
b) Có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}=\frac{\left(2a\right)^2+\left(b+c\right)^2}{4\left(b+c\right)}\) (1)
VÌ: \(\left[2a-\left(b+c\right)\right]^2\ge0\)
=> \(\left(2a\right)^2+\left(b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)
=> \(\left(1\right)\ge\frac{4a\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}=a\)
Hay: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}\ge a-\frac{b+c}{4}\) (2)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{b^2}{c+a}\ge b-\frac{c+a}{4}\) (3)
\(\frac{c^2}{a+b}\ge c-\frac{a+b}{4}\) (4)
Cộng vế với vế (2);(3);(4) ta có:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge a+b+c-\left(\frac{b+c+c+a+a+b}{4}\right)=\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}\)
TH
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 3 2019
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{b^2}{a^2+c^2}-\frac{b}{a+c}\right)+\left(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}\right)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{ba(b-a)+bc(b-c)}{(a^2+c^2)(a+c)}+\frac{ca(c-a)+cb(c-b)}{(a^2+b^2)(a+b)}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow ab(a-b)\left(\frac{1}{(b^2+c^2)(b+c)}-\frac{1}{(a^2+c^2)(a+c)}\right)+bc(b-c)\left(\frac{1}{(a^2+c^2)(a+c)}-\frac{1}{(a^2+b^2)(a+b)}\right)+ca(c-a)\left(\frac{1}{(a^2+b^2)(a+b)}-\frac{1}{(b^2+c^2)(b+c)}\right)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow ab(a-b).\frac{(a-b)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)}{(b^2+c^2)(b+c)(a^2+c^2)(a+c)}+bc(b-c).\frac{(b-c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)}{(a^2+c^2)(a+c)(a^2+b^2)(a+b)}+ca(c-a).\frac{(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)}{(a^2+b^2)(a+b)(b^2+c^2)(b+c)}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)\left[\frac{(a-b)^2}{(b^2+c^2)(b+c)(a^2+c^2)(a+c)}+\frac{(b-c)^2}{(a^2+c^2)(a+c)(a^2+b^2)(a+b)}+\frac{(c-a)^2}{(a^2+b^2)(a+b)(b^2+c^2)(b+c)}\right]\geq 0\)
(luôn đúng)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$