cho x,y,z thỏa mãn xy+yz+xz=1. Tìm GTLN của \(A=x^2+8y^2+z^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
D
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 8 2019
Bài này chỉ tìm min chứ không tìm được max bạn nhé.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((3-2\sqrt{2})x^2+4y^2\geq 2\sqrt{4(3-2\sqrt{2})x^2y^2}=4(\sqrt{2}-1)xy\)
\((3-2\sqrt{2})z^2+4y^2\geq 4(\sqrt{2}-1)yz\)
\((-2+2\sqrt{2})x^2+(-2+2\sqrt{2})z^2\geq 2\sqrt{(-2+2\sqrt{2})^2x^2z^2}=4(\sqrt{2}-1)xz\)
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
\(A\geq 4(\sqrt{2}-1)(xy+yz+xz)=4(\sqrt{2}-1)\)
Vậy $A_{\min}=4(\sqrt{2}-1)$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 8 2019
Bài này chỉ tìm min chứ không tìm được max bạn nhé.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((3-2\sqrt{2})x^2+4y^2\geq 2\sqrt{4(3-2\sqrt{2})x^2y^2}=4(\sqrt{2}-1)xy\)
\((3-2\sqrt{2})z^2+4y^2\geq 4(\sqrt{2}-1)yz\)
\((-2+2\sqrt{2})x^2+(-2+2\sqrt{2})z^2\geq 2\sqrt{(-2+2\sqrt{2})^2x^2z^2}=4(\sqrt{2}-1)xz\)
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
\(A\geq 4(\sqrt{2}-1)(xy+yz+xz)=4(\sqrt{2}-1)\)
Vậy $A_{\min}=4(\sqrt{2}-1)$
C
Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z = 2. Tìm GTLN của biểu thức
\(P=\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\)
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 12 2021
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+x+z\right)=\dfrac{1}{2}\left(2x+y+z\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{2y+xz}\le\dfrac{1}{2}\left(x+2y+z\right)\) ; \(\sqrt{2z+xy}\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+2z\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(4x+4y+4z\right)=4\)
\(P_{max}=4\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
XO
31 tháng 12 2021
P = \(1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)
\(=\sqrt{3.\left(4+xy+yz+zx\right)}\)
Đã biết x2 + y2 + z2 \(\ge\)xy + yz + zx
=> xy + yz + zx \(\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Khi đó \(P\le\sqrt{3\left(4+xy+yz+zx\right)}\le\sqrt{3\left[4+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}\)
= 4
Dấu "=" xảy ra <=> x = 2/3
30 tháng 12 2021
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{\left(x+y+z\right)x+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{x+2y+z}{2}\\ \Leftrightarrow P=\sum\sqrt{2x+yz}\le\dfrac{x+2y+z+2x+y+z+x+y+2z}{2}=\dfrac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\cdot2=4\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
XX
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm GTLN của P = \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\)
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 4 2021
\(P=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}+\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}+\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}\)
\(P=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+x+z\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y+y+z\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+z+y+z\right)\)
\(P\le2\left(x+y+z\right)=2\)
\(P_{max}=2\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
24 tháng 2 2020
Ta có:
P=\(\left(X^2+y^2+z^2+2xyz\right)-\left(X^2+y^2+z^2+4xyz-xy-yz-xz\right)\) xz)
= 1-\(\left(x^2+y^2+z^2+4xyz-xy-yz-xz\right)\)
=> P \(\le\)1
Vậy MaxP=1
TV
1
thêm diều kiện x,y,z > 0