K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)

tương tự cộng theo vế rút gọn ta có đpcm 

10 tháng 8 2016

Bài 1 :

a) Ta có : \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) , \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) , \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) hay \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\)

 

14 tháng 8 2019

Áp dụng bđt Cô-si :

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab\cdot bc}{ca}}=2b\)

Tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c;\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)

Cộng theo vế 3 bđt :

\(2\cdot\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

17 tháng 8 2016

Đề đúng : Cho a,b,c > 0 và \(a+b+c\le1\)

CMR : \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)

Đặt \(x=a^2+2bc,y=b^2+2ac,z=c^2+2ab\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(\sqrt{\frac{1}{x}.x}+\sqrt{\frac{1}{y}.y}+\sqrt{\frac{1}{z}.z}\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) hay \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\) 

 

17 tháng 8 2016

Ta thấy: \(\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ac\right)+\left(c^2+2ab\right)=\left(a+b+c\right)^2\le1\)

Sử dụng Cosi 3 số ta suy ra

\(VT\ge\left[\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ac\right)+\left(c^2+2ab\right)\right]\left(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\right)\)

\(\ge3\sqrt[3]{\left(a^2+2bc\right)\left(b^2+2ac\right)\left(c^2+2ab\right)}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2+2bc}\cdot\frac{1}{b^2+2ac}\cdot\frac{1}{c^2+2ab}}=9\) (Đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi\(\begin{cases}a+b+c=1\\a^2+2bc=b^2+2ac=c^2+2ab\end{cases}\)\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Hi  :DSau đây là một số bài mình sưu tầm được và mình post lên đây nhầm mong muốn các bạn đóng góp lời giải của mình vàoCâu 1:Với a,b,c là các số thực dương và \(abc=1\).Chứng minh rằng:\(\frac{1}{4a^2-2a+1}+\frac{1}{4b^2-2b+1}+\frac{1}{4c^2-2c+1}\ge1\left(\cdot\right)\)Câu 2:Với a,b,c là các số thực dương và \(abc=1\).Chứng minh...
Đọc tiếp

Hi  :D

Sau đây là một số bài mình sưu tầm được và mình post lên đây nhầm mong muốn các bạn đóng góp lời giải của mình vào

Câu 1:

Với a,b,c là các số thực dương và \(abc=1\).Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{4a^2-2a+1}+\frac{1}{4b^2-2b+1}+\frac{1}{4c^2-2c+1}\ge1\left(\cdot\right)\)

Câu 2:

Với a,b,c là các số thực dương và \(abc=1\).Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}+\frac{1}{\sqrt{4b^2+b+4}}+\frac{1}{\sqrt{4c^2+c+4}}\le1\left(\cdot\cdot\right)\)

Câu 3:

Với a,b,c,d là các số thực dương và \(\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{1}{d+3}=1\).Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3}+\frac{d}{d^2+2}\le1\left(\cdot\cdot\cdot\right)\)

Câu 4:

Với a,b,c,d thõa mãn điều kiện \(a+b+c+d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\),Chứng minh rằng:

\(2\left(a+b+c+d\right)\ge\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}+\sqrt{d^2+3}\left(\cdot\cdot\cdot\cdot\right)\)

Câu 5:

Với a,b,c là các số thực không âm.Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2-ca}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+2c^2}\ge0\left(\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\right)\)

 

Continue...

 

 

1
31 tháng 5 2020

Bài 1. Ta có: \(a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2\ge0\therefore\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge\frac{1}{a^4+a^2+1}\)

Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế rồi dùng Vasc (https://olm.vn/hoi-dap/detail/255345443802.html)

Bài 5: Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c là các số thực. Chứng minh:

Quy đồng và chú ý các mẫu thức đều không âm, ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\Sigma\left[\left(a^2+b^2\right)+2c^2\right]\left(a-b\right)^2\ge0\)

Đây là điều hiển nhiên.

20 tháng 9 2019

Ta có: \(\frac{a}{a'}+\frac{b}{b'}=1\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a'}.\frac{b}{b'}+\frac{b'}{b}.\frac{b}{b'}=\frac{b}{b'}.\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{a'b'}+1=\frac{b}{b'}\) (1).

\(\frac{b}{b'}+\frac{c'}{c}=1\)

\(\Rightarrow\frac{b}{b'}=1-\frac{c'}{c}\) (2).

Từ (1) và (2) => \(\frac{ab}{a'b'}=-\frac{c'}{c}\)

\(\Rightarrow abc=-a'b'c'\)

\(\Rightarrow abc+a'b'c'=0\left(đpcm\right).\)

Vậy \(abc+a'b'c'=0.\)

Chúc bạn học tốt!

20 tháng 9 2019

Không có gì nhé.

9 tháng 11 2018

ta có (a+b-c/c)+2=(a-b+c/b)+2=(-a+b+c/a)+2

=>a+b-c+2c/c=a-b+c+2b/b=-a+b+c+2a/a

=>a+b+c/c=a+b+c/b=a+b+c/a     (1)

Trường hợp 1

Nếu a+b+c=0 => a+b=-c

                       => b+c=-a

                       =>  a+c=-b

M= (-c)(-a)(-a)/abc = -1

Trường hợp 2

Từ (1) =>(a+b+c). 1/c =(a+b+c). 1/b =(a+b+c). 1/a

=>1/a=1/b=1/c

Từ (1) =>3(a+b+c)/a+b+c=3

hay (a+b/c)+1=(a+c/b)+1=(b+c/a)=2

9 tháng 11 2018

Nguyễn Trọng Tâm Đạt làm sai một TH nhé =)

trường hợp 2

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}\)

\(2+\frac{a+b-c}{c}=2+\frac{a-b+c}{b}=2+\frac{-a+b+c}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{a}\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

thay a=b=c vào M ta có

\(M=\frac{\left(b+b\right).\left(b+c\right).\left(c+a\right)}{a.b.c}=\frac{2a.2a.2a}{aaa}=\frac{8.a^3}{a^3}=8\)