Xét các đường thẳng (d) có phương trình:
(m+2)x+(m-3)y-m+8=0 (m là tham số)
Định giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đường thẳng (d) qua điểm cố định \(A\left(-1;1\right)\)
Đường thẳng OA có phương trình: \(y=-x\) nên có hệ số góc bằng -1
\(\Rightarrow\) K/c từ O đến (d) lớn nhất khi 2 đường thẳng (d) và OA vuông góc
\(\Rightarrow\) Tích hệ số góc của chúng bằng -1
Ta có: \(\left(m-4\right)x+\left(m-3\right)y=1\Rightarrow\left(3-m\right)y=\left(m-4\right)x-1\)
\(\Rightarrow y=\dfrac{m-4}{3-m}-\dfrac{1}{3-m}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{m-4}{3-m}\right).\left(-1\right)=-1\)
\(\Rightarrow m-4=3-m\)
\(\Rightarrow m=\dfrac{7}{2}\)
\(a,\) Gọi điểm cố định (d) luôn đi qua là \(A\left(x_0;y_0\right)\)
\(\Leftrightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+2\Leftrightarrow mx_0-2x_0+2-y_0=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\2-2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)
Vậy \(A\left(0;2\right)\) là điểm cố định mà (d) lun đi qua
\(b,\) PT giao Ox,Oy: \(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2-m}\Leftrightarrow B\left(\dfrac{2}{2-m};0\right)\Leftrightarrow OB=\dfrac{2}{\left|m-2\right|}\\ x=0\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow C\left(0;2\right)\Leftrightarrow OC=2\)
Gọi H là chân đường cao từ O đến (d) \(\Leftrightarrow OH=1\)
Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=1=\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+1=4\\ \Leftrightarrow m^2-4m+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{3}\\m=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
\(c,\) Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OC^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)
Đặt \(OH^2=t\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}=\dfrac{m^2-4m+5}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{\left(m-2\right)^2+1}\le\dfrac{4}{0+1}=4\\ \Leftrightarrow OH\le2\\ OH_{max}=2\Leftrightarrow m=2\)
Lời giải:
ĐK: $3m+1\neq 0$
Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $(d)$ với $Ox,Oy$
Vì $A\in Ox$ nên $y_A=0$
$y_A=(3m+1)x_A-6m-1=0$
$\Rightarrow x_A=\frac{6m+1}{3m+1}$
Vậy $A(\frac{6m+1}{3m+1},0)$
Tương tự: $B(0, -6m-1)$
Gọi $h$ là khoảng cách từ $O$ đến $(d)$
Khi đó, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}$
$=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}$
$=\frac{(3m+1)^2}{(6m+1)^2}+\frac{1}{(6m+1)^2}$
$=\frac{(3m+1)^2+1}{(6m+1)^2}$
Để $h$ max thì $\frac{1}{h^2}$ min
Hay $\frac{(3m+1)^2+1}{(6m+1)^2}$ min
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$[(3m+1)^2+1][2^2+(-1)^2]\geq [2(3m+1)+(-1)]^2=(6m+1)^2$
$\Rightarrow 5[(3m+1)^2+1]\geq (6m+1)^2$
$\Rightarrow \frac{1}{h^2}\geq \frac{1}{5}$
Giá trị này đạt tại $\frac{3m+1}{2}=\frac{1}{-1}$
$\Leftrightarrow m=-1$