Bài toán :
Cho \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\). Hãy tính x + y
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx\)
\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự:
\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+1=\left(y+z\right)\left(y+x\right)\\z^2+1=\left(z+y\right)\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(A=x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\dfrac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
TH1: x,y,z <0
\(A=-x\left(y+z\right)-y\left(z+x\right)-z\left(x+y\right)=-2\)
TH2: x,y,z>0
\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)=2\)
Ta có \(1+z^2=xy+yz+zx+z^2\)
\(=y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\)
\(=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
CMTT, \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\) và \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
Do đó \(\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(y+z\right)^2}\) \(=\left|y+z\right|\)
Tương tự như thế, ta được
\(A=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
Cái này không tính ra số cụ thể được nhé bạn. Nó còn phải tùy vào dấu của \(x+y,y+z,z+x\) nữa.
ta có: xy+yz+zx=1
=> \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
c/m tương tự ta đc: \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(1+z^2=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
thay vào A ta đc:
\(A=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\)\(\Rightarrow A=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow A=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow A=2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow A=2\) vì xy+yz+zx=1
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)
Ta có bảng :
\(x+\sqrt{1+x^2}\) | 1 | -1 |
\(y+\sqrt{1+y^2}\) | 1 | -1 |
x | 0 | vô nghiệm |
y | 0 | vô nghiệm |
lỗi @@ đọc nhầm trên tưởng giải PT chưa có nhin xuống \(\left(x+y\right)^2\)
Làm lại nhớ _-_ sai chịu, làm cái này kham khảo hơi nhìu, chill :v
\(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\\\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)=1\end{cases}}\)
Kết hợp giả thiết \(x+\sqrt{1+x^2}=y+\sqrt{y^2+1}\)và
\(\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\)
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+1}-x=y+\sqrt{y^2+1}\\\sqrt{y^2+2013}-y=x+\sqrt{x^2+1}\end{cases}}\)
Cộng theo vế ta có : \(-x-y=x+y\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=0\)
Công thức tổng quát:
Áp dụng vào bài toán thì ta có Q=0.75
\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\sqrt{x^2+1}-x\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\) (1)
Tương tự: \(x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y\) (2)
Cộng vế với vế và rút gọn:
\(x+y=-x-y\Leftrightarrow x+y=0\)
\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=x^2+1-x^2=1\)
\(\Rightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\)(1)
Tương tự \(x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y\)(2)
Lấy (1) + (2) đc x + y = -x - y
<=> 2(x + y) = 0
<=> x + y = 0