Cho \(a,b>0\)và \(a+b=2\)
Chứng minh \(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\le2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 1 2021
\(\Leftrightarrow1+b^2+a^2\left(b^3+b\right)\le\left(2b^3+2\right)a^2-2\left(b^3+1\right)a+2b^3+2\)
\(\Leftrightarrow\left(b^3-b+2\right)a^2-2\left(b^3+1\right)a+2b^3-b^2+1\ge0\)
Xét tam thức bậc 2: \(f\left(a\right)=\left(b^3-b+2\right)a^2-2\left(b^3+1\right)a+2b^3-b^2+1\)
Ta có: \(b^3+2-b\ge3b-b=2b>0\)
\(\Delta'=\left(b^3+1\right)^2-\left(b^3-b+2\right)\left(2b^3-b^2+1\right)\)
\(\Delta'=-\left(b-1\right)^2\left(b^4+b^3-b^2+b+1\right)\le0\) ; \(\forall b>0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)\ge0\) ; \(\forall a\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(1;1\right)\)
VH
3
19 tháng 2 2016
Ta có:
\(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=a^2b^2\left(4-2ab\right)=\frac{1}{32}.4ab.\left(4.2ab\left(4-2ab\right)\right)\le\frac{1}{32}\left(a+b\right)^2.\left(a-2ab+2ab\right)^2=2\)
19 tháng 2 2016
\(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow a^2b^2\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]\Leftrightarrow a^2b^2\left(a+b\right)^2-2a^3b^3\Leftrightarrow4a^2b^2-2a^3b^3\)
Ta có: \(a+b\ge2ab\)
mà a+b=2\(\Rightarrow2\ge2ab\)\(\Leftrightarrow1\ge ab\Leftrightarrow ab\le1\Leftrightarrow\)\(a^2b^2\le1\Leftrightarrow4a^2b^2\le4\)(1)
\(\Leftrightarrow a^3b^3\le1\Leftrightarrow2a^3b^3\le2\)(2)
(1)-(2) ta được:
\(4a^2b^2-2a^3b^3\le4-2=2\Rightarrow a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\le2\left(đpcm\right)\)
20 tháng 12 2020
\(VT=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le_{AM-GM}\dfrac{a+b+a+c}{2}+\dfrac{b+c+b+a}{2}+\dfrac{c+a+c+b}{2}=2\left(a+b+c\right)=VP\) (đpcm)
HH
23 tháng 1 2021
Đầy đủ hơn 1 tí nhé
Theo gt : ab + bc + ca = 1 nên a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca
= ( a + b )( a + c )
- Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\)
- Tương tư ta cũng có :
\(\sqrt{b^2+1}\le\frac{\left(b+a\right)+\left(b+c\right)}{2}\)và \(\sqrt{c^2+1}\le\frac{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}\)
Từ đó suy ra : VT \(\le\frac{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(b+a\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}\)
\(\le2\left(a+b+c\right)=VP\left(đpcm\right)\)
6 tháng 8 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :
\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le a\cdot\frac{3a+a+2b}{2}+b\cdot\frac{3b+b+2a}{2}\)
\(=a\cdot\frac{4a+2b}{2}+b\cdot\frac{4b+2a}{2}\)
\(=a\left(2a+b\right)+b\left(2b+a\right)\)
\(=2a^2+2b^2+2ab\)
\(=2\left(a^2+b^2+ab\right)\le2\left(2+\frac{a^2+b^2}{2}\right)=2\left(2+\frac{2}{2}\right)=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
p/s: có gì chiều giải nốt, giờ đi ăn cơm @@
NC
2
12 tháng 3 2020
Chứng minh tương đương là xong nha
\(\Leftrightarrow a^2b^2+2ab^2c+b^2c^2\le2a^2b^2+2b^2c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-bc\right)^2\ge0\)luôn đúng
dấu = khi a=c
_Kudo_
KN
13 tháng 3 2020
Áp dụng bđt Bunhiacopski:
\(2\left(a^2b^2+b^2c^2\right)=\left(1+1\right)\left(a^2b^2+b^2c^2\right)\ge\left(ab+bc\right)^2\)
Dấu "=" khi a = c
16 tháng 4 2017
Nhức nhối mãi bài này vì nó làm lag hết máy
Giải
Đặt \(x=\dfrac{b+c}{a};y=\dfrac{c+a}{b};z=\dfrac{a+b}{c}\)
Ta phải chứng minh \(Σ\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x^2+2}\le8\)
\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{2x+1}{x^2+2}\le\dfrac{5}{2}\LeftrightarrowΣ\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\ge\dfrac{1}{2}\)
Lại theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(Σ\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\ge\dfrac{\left(x+y+z-3\right)^2}{x^2+y^2+z^2+6}\)
Ta còn phải chứng minh
\(2\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz-6x-6y-6z+9\right)\)\(\ge x^2+y^2+z^2+6\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+4\left(xy+yz+xz\right)-12\left(x+y+z\right)+12\ge0\)
Bây giờ có \(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\ge12\left(xyz\ge8\right)\)
Còn phải chứng minh \(\left(x+y+z\right)^2+24-12\left(x+y+z\right)+12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z-6\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
16 tháng 4 2017
Bởi vì BĐT là thuần nhất, ta có thể chuẩn hóa \(a+b+c=3\). Khi đó
\(\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}=\dfrac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}=\dfrac{1}{3}\left(1+2\cdot\dfrac{4a+3}{2+\left(a-1\right)^2}\right)\)
\(\le\dfrac{1}{3}\left(1+2\cdot\dfrac{4a+3}{2}\right)=\dfrac{4a+4}{3}\)
Tương tự ta cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{\left(2b+c+a\right)^2}{2b^2+\left(a+c\right)^2}\ge\dfrac{4b+4}{3};\dfrac{\left(2c+b+a\right)^2}{2c^2+\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4c+4}{3}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(Σ\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\geΣ\left(4a+4\right)=8\)
13 tháng 6 2021
Có \(ab+bc+ac=abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Áp dụng các bđt sau:Với x;y;z>0 có: \(\dfrac{1}{x+y+z}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\) và \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Có \(\dfrac{1}{a+3b+2c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}\right)\)\(\le\dfrac{1}{9}.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)=\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)
CMTT: \(\dfrac{1}{b+3c+2a}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}+\dfrac{2}{a}\right)\)
\(\dfrac{1}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}\right)\)
Cộng vế với vế => \(VT\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{36}.6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=3
13 tháng 6 2021
Có \(a+b=2\Leftrightarrow2\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le1\)
\(E=\left(3a^2+2b\right)\left(3b^2+2a\right)+5a^2b+5ab^2+2ab\)
\(=9a^2b^2+6\left(a^3+b^3\right)+4ab+5ab\left(a+b\right)+20ab\)
\(=9a^2b^2+6\left(a+b\right)^3-18ab\left(a+b\right)+4ab+5ab\left(a+b\right)+20ab\)
\(=9a^2b^2+48-18ab.2+4ab+5.2.ab+20ab\)
\(=9a^2b^2-2ab+48\)
Đặt \(f\left(ab\right)=9a^2b^2-2ab+48;ab\le1\), đỉnh \(I\left(\dfrac{1}{9};\dfrac{431}{9}\right)\)
Hàm đồng biến trên khoảng \(\left[\dfrac{1}{9};1\right]\backslash\left\{\dfrac{1}{9}\right\}\)
\(\Rightarrow f\left(ab\right)_{max}=55\Leftrightarrow ab=1\)
\(\Rightarrow E_{max}=55\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy...