Question

[An Vy]

Cho x,y,z > 0 và x+y+z =1 Tìm min A = (x+y+z)/xyz

Answer 1

[Phùng Gia Bảo]

Áp dụng: (a + b)² ≥ 4ab Ta có: 
(x + y + z)² ≥ 4(x + y)z hay 1 ≥ 4(x + y)z (*)        (Vì x + y + z = 1) 
=> (x + y)/xyz ≥ 4(x + y)²z/xyz      ( Nhân hai vế (*) với (x + y)/xyz) 
=> (x + y)/xyz ≥ 4.4xyz/xyz = 16    (vì (x + y)² ≥ 4xy) 
Vậy min A = 16 <=> x = y; x + y = z và x + y + z = 1 
=> x = y = 1/4; z = 1/2

Answer 2

[Phùng Minh Quân]

bn Phùng Gia Bảo nhầm 1 chỗ r nhe

C1: \(A=\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^3}\ge\frac{1}{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3}=\frac{1}{\frac{1}{27}}=27\)

C2: \(A=\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+zx}\ge\frac{9}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}=27\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\)