\(Cho \) \(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Chứng minh S không phải là số tự nhiên
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
Áp dụng BĐT ta có :
\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2500}}=2\left(\sqrt{2501}-\sqrt{2500}+\sqrt{2500}-\sqrt{2499}+....+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{2501}-1\right)>2\left(\sqrt{2500}-1\right)=2.49=98\) (1)
\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
ÁP dụng BĐT ta có :
\(A-1<2\left(\sqrt{2500}-\sqrt{2499}+...+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1\right)=2\left(\sqrt{2500}-1\right)=98\)
=> A < 98 + 1 =99 (2)
Từ (1) và (2) => 98 < A < 99
=> A không thể là số tự nhiên
\(A<2\left(\sqrt{2500}-\sqrt{2499}+...+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{1}-0\right)\)
Vì
\(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{4}}....\) đều là số vô tỉ
Mà 1 là số hữu tỉ
=>\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\) là một số vô tỉ
Hay A ko phải là 1 số tự nhiên
Tick cho mình nha bạn.Nhân dịp năm mới chúc bạn mạnh khoẻ,vui vẻ,học giỏi nha.
Còn nhớ tui là ai nữa ko bạn???
Lời giải:
Liên hợp ta thấy:
\(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2.\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1)\)
\(2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2.\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)
------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>1+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+2(\sqrt{4}-\sqrt{3})+...+2(\sqrt{101}-\sqrt{100})\)
\(\Leftrightarrow S>1+2(\sqrt{101}-\sqrt{2})>18(*)\)
Và:
\(S< 1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+....+2(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)
\(\Leftrightarrow S< 1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19(**)\)
Từ $(*); (**)$ suy ra $18< S< 19$ (đpcm)
Ap dung \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Ta co \(P< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2007}}-\frac{1}{\sqrt{2008}}\right)\)
=> \(P< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2008}}\right)< 2.1=2\)
Suy ra P khong phai so nguyen to
Bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Câu hỏi của Hoa Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
\(B=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}+...+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}\)
\(=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-...-\sqrt{99}+\sqrt{100}\)
\(=\sqrt{100}-1\)
\(=10-1\)
\(=9\)
Vì 9 chia hết cho 1; 3; 9 nên ko thể là số nguyên tố mà là hợp số.
=> ĐPCM
\(S=\frac{2}{2}+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{100}}\)
\(S< 1+\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(S< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(S< 1+2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=19\)
\(S>\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{101}}\)
\(S>2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)\)
\(S>2\left(\sqrt{101}-1\right)>2\left(\sqrt{100}-1\right)=18\)
\(\Rightarrow18< S< 19\Rightarrow S\) ko là số tự nhiên