Cho 2 số không âm a và b thỏa mãn: \(a^2+b^2\le2\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P\(=a\sqrt{15ab+10b^2}+b\sqrt{15ab+10a^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
18 tháng 8 2019
a) Từ đề bài có: \(x\left(x-1\right)\le0\Rightarrow x^2\le x\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra:
\(M=x+y+z-3\ge x^2+y^2+z^2-3=-2\)
Đẳng thức xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó
Is it true?
18 tháng 8 2019
\(4\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1\le\sqrt{2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{2}+1\)
\(\Leftrightarrow\)\(8\le x+y+2\sqrt{x+y}\sqrt{2}+2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\ge\sqrt{8}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\)\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
NT
1
22 tháng 11 2021
\(a+b=1\Leftrightarrow b=1-a\\ \Leftrightarrow P=a^2+1-a=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\\ P_{min}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow b=\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 9 2021
\(A=a+b+c+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)
\(A=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c+1\right)^2-2\ge-2\)
\(A_{min}=-2\) khi \(a+b+c=-1\) (có vô số bộ a;b;c thỏa mãn điều này)
Với mọi a;b;c ta luôn có:
\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow12\ge2A\)
\(\Rightarrow A\le6\)
\(A_{max}=6\) khi \(a=b=c=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(P^2=(a\sqrt{15ab+10b^2}+b\sqrt{15ab+10a^2})^2\leq (a^2+b^2)(15ab+10b^2+15ab+10a^2)\)
\(P^2\leq (a^2+b^2)(30ab+10a^2+10b^2)\)
Áp dụng BĐT Cauchy: \(2ab\leq a^2+b^2\Rightarrow 30ab\leq 15(a^2+b^2)\)
Do đó: \(P^2\leq (a^2+b^2)(15a^2+15b^2+10a^2+10b^2)=25(a^2+b^2)^2\)
\(\Rightarrow P\leq 5(a^2+b^2)\leq 5.2=10\)
Vậy $P_{\max}=10$ khi $a=b=1$