Question

[Nguyễn Thanh]

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x)=\(\frac{4}{x^2+1}\). Tính số giá trị nguyên của tham số m trong khoảng (-20;20) để hàm số g(x) = f(x) -mx +2 nghịch biến trên R?

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(g'\left(x\right)=f'\left(x\right)-m=\frac{4}{x^2+1}-m\)

Để \(g\left(x\right)\) nghịch biến trên R \(\Leftrightarrow g'\left(x\right)\le0\) \(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\frac{4}{x^2+1}\le m\) \(\forall x\in R\) \(\Leftrightarrow m\ge\max\limits_{x\in R}f\left(x\right)\) với \(h\left(x\right)=\frac{4}{x^2+1}\)

Xét \(h'\left(x\right)=\frac{-8x}{\left(x^2+1\right)^2}=0\Rightarrow x=0\)

\(\Rightarrow h'\left(x\right)>0\) khi \(x< 0\); \(h'\left(x\right)< 0\) khi \(x>0\)

\(\Rightarrow x=0\) là điểm cực đại của hàm số \(h\left(x\right)\)

Dựa vào BBT ta thấy \(\max\limits_{x\in R}h\left(x\right)=h\left(0\right)=4\)

\(\Rightarrow m\ge4\) thì \(g\left(x\right)\) nghịch biến trên R

\(\Rightarrow\) Có \(20-4+1=17\) giá trị nguyên