cho x,y >0 và x+y\(\le\)1
chứng minh rằng A=\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy\ge7\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LD
4 tháng 5 2019
1.
Đầu tiên ta cm: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\) (cô si)
Dấu "=" khi a = b.
Áp dụng:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\) \(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}\cdot4xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(=4+2+5=11\)
Vậy MinA = 11 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
LD
4 tháng 5 2019
\(P=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\Leftrightarrow x^2+1=P\left(x^2-x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+1-Px^2+Px-P=0\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(1-P\right)x^2+Px+\left(1-P\right)=0\)
\(\Delta=P^2-4\left(1-P\right)^2\)
\(=P^2-4\left(1-2P+P^2\right)=-3P^2+8P-4\)
Để P có GTNN và GTLN thì phương trình (*) có nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow-3P^2+8P-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3P^2+2P+6P-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-P\left(3P-2\right)+2\left(3P-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3P-2\right)\left(2-P\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\le P\le2\)
Vậy \(min_P=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=-1\); \(max_P=2\Leftrightarrow x=1\)
HF
13 tháng 10 2019
\(S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{3}{2xy}+4xy\ge\frac{4}{\frac{1}{4}}+\frac{3}{2xy}+384xy-380xy\)
\(\ge16+2\cdot24-380xy=64-380xy\)
+) \(\frac{1}{2}\ge x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{1}{4}\ge4xy\Leftrightarrow\frac{1}{16}\ge xy\)
\(\Rightarrow-380xy\ge380\cdot\frac{1}{16}=23.75\)
\(\Rightarrow S\ge64-23.75=40.25\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/4
LD
14 tháng 10 2019
Tại sao \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\le\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}\) ?
TM
10 tháng 9 2017
lẽ ra x,y,z>0 chứ sao lại a,b,c>0 :))
Áp dụng bđt Cô-si:\(x^2+yz\ge2\sqrt{x^2.yz}=2x\sqrt{yz}\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}\)
tương tự: \(\frac{1}{y^2+xz}\le\frac{1}{2y\sqrt{xz}};\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{2z\sqrt{xy}}\)
=>\(\frac{1}{x^2+yz}\)\(+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{xz}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\)
Mặt khác theo bđt Cô-si thì: \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2};\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2};\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\)
=>\(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\)
=>\(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\le\frac{x+y+z}{2xyz}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)
ta có đpcm.
10 tháng 9 2017
Áp dụng cauchy cho mỗi mẫu số vế trái , có :
\(VT\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{xz}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{xz}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{\sqrt{yz}}{xyz}+\frac{\sqrt{xz}}{xyz}+\frac{\sqrt{zx}}{xyz}\right)=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xz}}{xyz}\)
Biến đổi vế phải , có :
\(VP=\frac{1}{2}.\left(\frac{z}{xyz}+\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}\right)=\frac{1}{2}.\frac{x+y+z}{xyz}\)
Ta có :
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
<=> \(2x+2y+2z\ge2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}\) (đúng - Hệ quả của Cauchy, lên mạng sợt là ra )
=> \(\frac{1}{2}.\frac{x+y+z}{xyz}\ge\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{xyz}\)
=> \(VP\ge VT\)
24 tháng 7 2019
Ta có:\(x^2-4xy+6y^2+2x+4\)
\(=\left(x-2y\right)^2+\left(x+x+\frac{8}{x^2}\right)+\left(2y^2+\frac{2}{y^2}\right)\)
\(\ge0+6+4=10\)
\(\Rightarrow x^2-4xy+6y^2+2x\ge10-4=6\)
Dấu bằng xảy ra khi x=2 và y=1.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 9 2019
Bài 1:
\(\frac{2}{x^2+2y^2+3}=\frac{2}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}\le\frac{2}{2xy+2y+2}=\frac{1}{xy+y+1}\)
Bài 2:
\(A=\frac{4}{4x^2+9y^2}+\frac{4}{12xy}+\frac{52}{2x.3y}\ge\frac{16}{4x^2+9y^2+12xy}+\frac{52.4}{\left(2x+3y\right)^2}\)
\(A\ge\frac{16}{\left(2x+3y\right)^2}+\frac{208}{\left(2x+3y\right)^2}=\frac{224}{\left(2x+3y\right)^2}\ge\frac{224}{4}=56\)
\(A_{min}=56\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
AQ
1
5 tháng 7 2020
Ta có: \(A=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{2xy}+8xy\right)-4xy\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{2xy}.8xy}-\left(x+y\right)^2=4+4-1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0,5.
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{1}{4xy}\)
\(A\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(A\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=7\)
Dấu "=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)