Question

[Vũ Như Quỳnh]

giúp mình với:

1 CHO HÀM SỐ f(x) =y có đạo hàm liên tục trên [0,1], thỏa mãn :

(f '(x)²) +4 f(x)= 8x²+4 với mọi x[0,1] và f(1)=2]'

TÍNH \(\int_0^1f\left(x\right)dx\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Lấy tích phân 2 vế giả thiết:

\(\int\limits^1_0\left(f'\left(x\right)\right)^2dx+4\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\left(8x^2+4\right)dx=\frac{20}{3}\)

Xét \(I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.f\left(x\right)|^1_0-\int\limits^1_0x.f'\left(x\right)dx=2-\int\limits^1_0x.f'\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx+8-4\int\limits^1_0x.f'\left(x\right)dx=\frac{20}{3}\)

\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx-2\int\limits^1_02x.f'\left(x\right)dx+\int\limits^1_04x^2dx=\frac{20}{3}-8+\int\limits^1_04x^2dx=0\)

\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[\left[f'\left(x\right)\right]^2-2.2x.f'\left(x\right)+4x^2\right]dx=0\)

\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)-2x\right]^2dx=0\Rightarrow f'\left(x\right)=2x\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+C\)

Do \(f\left(1\right)=2\Rightarrow2=1+C\Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+1\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\left(x^2+1\right)dx=\frac{4}{3}\)

Answer 2

[Vũ Như Quỳnh]

dap an bai kia la gi vay ban