cho x,y lớn hơn hoặc bằng 0 , x+y = 1 tìm max của P= \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LM
1
24 tháng 10 2019
Ta có:
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=\frac{x^2}{y^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+4.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}\)
\(=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+4\ge4\) với mọi x y >0
Vì x, y >0 => \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>0\) mà \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\ge4\)
=> \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2>\frac{1}{2}\)với mọi x, y >0
"=" xảy ra <=> x =y
Em kiểm tra lại đề bài nha.
SP
1
16 tháng 7 2016
Đặt \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\)
Ta có :\(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{xy}{x}+\frac{xy}{y}+\frac{2}{x+y}\)(Do \(xy=1\))
\(=x+y+\frac{2}{x+y}\)
\(=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)
Đặt \(B=\frac{x+y}{2};C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)
\(\Rightarrow A=B+C\)
Do x,y>0 nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow B=\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}=\sqrt{1}=1\)(1)
Ta có: \(x,y>0\Rightarrow x+y>0\)
Ta áp dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) với hai số dương x+y và 2
\(\Rightarrow C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge2\)(2)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow B+C=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge1+2\)
\(\Rightarrow A\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge3\left(ĐPCM\right)\)
KT
29 tháng 7 2018
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng engle ta có:
\(A=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{1+x+1+y+1+z}=\frac{9}{3+\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=1\)
Vậy Min A = 3/2 khi x = y = z = 1
KN
22 tháng 2 2020
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dạng Engel, ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
KN
22 tháng 2 2020
Thật ra bài này không cần điều kiện \(x+y\le1\)thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)vẫn đúng với x,y dương và x = y.
Mình nghĩ nên chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge4\)thì điều kiện \(x+y\le1\) sẽ có nghĩa!
\(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)}{\left(y+1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2+x+y^2+y}{\left(y+1\right)\left(x+1\right)}\)
\(P=\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+\left(x+y\right)}{xy+x+y+1}=\frac{2-2xy}{2+xy}\)
\(P=\frac{2-2xy}{2+xy}=\frac{-4-2xy+6}{2+xy}=\frac{-2\left(2+xy\right)+6}{2+xy}=-2+\frac{6}{2+xy}\)
Ta có : xy \(\ge\)0 nên \(P=-2+\frac{6}{2+xy}\le-2+\frac{6}{2+0}=1\)
Vậy P max = 1 \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{cases}}\)
sao bạn ko dùng AMGM vậy