Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhở BC lấy điểm M bất kì. Gọi AM,DM cắt BC lần lượt tại E và F. Trung trực của BE cắt AM,BD,AC lần lượt tại K,P,S. Trung trực của CF cắt DM,AC,BD lần lượt tại L,Q,T. Gọi ST cắt MA,MD theo thứ tự ở U,V.
a) Chứng minh rằng OM chia đôi PQ ?
b) Chứng minh 4 điểm K,L,U,V cùng thuộc một đường tròn ?
a) Gọi I là giao điểm của PE và QF. Ta thấy P thuộc trung trực của BE nên \(\Delta\)BPE cân tại P
Kết hợp với ^PBE = 450 => \(\Delta\)PBE vuông cân tại P. Tương tự \(\Delta\)CQF vuông cân tại Q.
Do đó ^POQ= ^OPE = ^OQF = 900 cho nên tứ giác POQI là hình chữ nhật.
=> ^EIF = 900. Mà ^IEF = ^PEB = 450 nên \(\Delta\)EIF vuông cân tại I
Ta có ^EMF = ^AMD = 450 = 1/2.^EIF => \(\Delta\)MEF nội tiếp đường trong tâm I bán kính IE=IF
Cũng dễ có PE // AO (Cùng vuông góc OB). Do vậy ^IME = ^IEM = ^PEA = ^OAE = ^OMA
=> Hai tia MI,MO trùng nhau => O,I,M thẳng hàng. Từ tứ giác POQI là hình chữ nhật ta suy ra OI chia đôi PQ
=> OM cũng chia đôi PQ (đpcm).
b) Dễ thấy khoảng cách tứ K,O,L đến BC bằng AB/2 nên K,O,L thẳng hàng.
Khi đó dễ thấy tứ giác PQTS là hình thang cân nhận KL làm trục đối xứng
Lúc này ta có ^POI = ^OPQ = ^OST => OI vuông góc với ST hay OM vuông góc với ST
=> ^VUM = 900 - ^UMO = 900 - ^OAM = 900 - ^MDC = ^ADV => Tứ giác DAUV nội tiếp
=> ^KUV = ^ADV = 1800 - ^VLK. Từ đây có tứ giác KLVU nội tiếp
Hoặc 4 điểm K,L,U,V cùng thuộc một đường tròn (đpcm).