Question

[Nguyễn Minh Ngọc]

Giải giúp e bài này với ạ !

CMR : Với mọi p\(\in\)P , p > 5  ta có p⁴ - 1 chia hết cho 120 

Answer 1

[Trần Thị Hà Giang]

phải thêm đk p nguyên tố chứ bn?

\(p^4-1=\left(p^2-1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(p^2-1\right)\left(p^2-4+5\right)\)

\(=\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)+5\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

+ p là SNT > 5

=> p k chia hết cho 5

=> \(p^2\) chia 5 dư 1 hoặc 4

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}p^2-1⋮5\\p^2-4⋮5\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(p^2-1\right)\left(p^2-4\right)⋮5\)

\(\Rightarrow\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮5\)     (1)

+ p là SNT > 5  => p là số  lẻ

=> \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)là tích 2 số chẵn liên tiếp

=> \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\)                 ( 2 )

\(\Rightarrow\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮8\)          (3)

+ p là số nguyên tố > 5

=> p k chia hết cho 3

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}p-1⋮3\\p+1⋮3\end{cases}}\) ( do p - 1 , p , p + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp )

\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\)       (4)

\(\Rightarrow\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮3\)            (5)

+ Từ (1) , (3) , (5) suy ra \(\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮3.5.8\)

( do ba số 3,5,8 đôi một nguyên tố cùng nhau )

\(\Rightarrow\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮120\)         (*)

+ Tư (2) và (4) suy ra \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮24\) ( do   (3,8) = 1 )

\(\Rightarrow5\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮120\)  (**)

Từ (*) và (**) suy ra đpcm

Answer 2

[Đào Thu Hoà]

(P/s :mk thử thôi nhé , k chắc có đúng đâu, sai thì bỏ qua nah)

Vì p>5 , p - nguyên tố \(\Rightarrow p-lẻ\)\(\Rightarrow p-1=2k\left(k=3,4,...\right)\)

\(\Rightarrow p+1=2k+2\Rightarrow p+1=2\left(k+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=2k.2\left(k+1\right)=4k\left(k+1\right)\)

Mà k(k+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => \(k\left(k+1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\)

Xét 3 số tự nhiên liên tiếp p-1 ; p ; p+1  ắt có 1 số chia hết cho 3 . Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p không chia hết cho 3.

Do đó p-1 hoặc p+1 chia hết cho 3, suy ra

\(\hept{\begin{cases}\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\\\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\end{cases}}\)

Mà (3;8)=1 \(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮24\)

Lại có \(p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

\(\Rightarrow p^4-1⋮24\)(1)

Mặt khác p-nguyên tố lớn hơn 5 suy ra p có các dạng 5n+1 , 5n+2, 5n+3, 5n+4 (n thuộc N)

Với p=5n+1 => p-1=5n \(⋮5\)=> \(p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)

Với p=5n+2 =>  \(p^2+1=\left(5n+2\right)^2+1=25n^2+20n+4+1=5\left(5n^2+4n+1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)

Với p=5n+3 => \(p^2+1=\left(5n+3\right)^2+1=25n^2+30n+10=5\left(5n^2+6n+2\right)⋮5\)

\(\Rightarrow p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)

Với p=5n+4 => \(p+1=5n+4+1=5\left(n+1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)

Khi đó \(p^4-1⋮5\)(2)

Từ (1) và (2) và (5;24)=1 Ta có \(p^4-1⋮120\)