Cho \(a,b,c,d\in Z^+\) và \(a^2+b^2=c^2+d^2\)
CMR : \(a+b+c+d\) là một hợp số
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ Chứng minh nó chia hết cho 3:
Nếu cả x,y đều không chia hết cho 3 thì x2, y2 chia cho 3 dư 1.
\(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\) chia cho 3 dư 2. Mà không có số chính phương chia 3 dư 2 nên ít nhất x, y chia hết cho 3.
\(\Rightarrow xy⋮3\)
Chứng minh chia hết cho 4.
Nếu cả x, y đều chẵn thì \(xy⋮4\)
Nếu trong x, y có 1 số lẻ (giả sử là x) thì z là số lẻ
\(\Rightarrow x=2k+1;y=2m;z=2n+1\)
\(\Rightarrow4m^2=4n^2+4n+1-4k^2-4k-1=4\left(n^2+n-k^2-k\right)\)
\(\Rightarrow m^2=\left(n^2+n-k^2-k\right)\)
\(\Rightarrow m⋮2\)
\(\Rightarrow y⋮4\)
\(\Rightarrow xy⋮4\)
Với x, y đều lẻ nên z chẵn
\(\Rightarrow x^2=4m+1;y^2=4n+1;z^2=4p\)
\(\Rightarrow\)Không tồn tại x, y, z nguyên thỏa cái này
Vậy \(xy⋮4\)
Từ chứng minh trên
\(\Rightarrow xy⋮12\)
2/ \(a+b=c+d\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=\left(c+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2ab=2cd\)
\(\Leftrightarrow-2ab=-2cd\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=\left(c-d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-b=c-d\\a-b=d-c\end{cases}}\)
Kết hợp với \(a+b=c+d\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=c\\a=d\end{cases}}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
\(a^2+b^2=c^2+d^2\Rightarrow2.\left(a^2+b^2\right)=a^2+b^2+c^2+d^2⋮2\left(\text{vì}a,b,c,d\in Z^+\right)\)
\(\text{Có: }a^2-a=a.\left(a-1\right)⋮2\). tương tự b2-b,c2-c và d2-d đều chia hết cho 2
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2-\left(a+b+c+d\right)⋮2\)
Mà \(a^2+b^2+c^2+d^2⋮2\Rightarrow a+b+c+d⋮2\)
Lại có: a,b,c,d thuộc Z+ nên \(a+b+c+d\ge4\Rightarrow a+b+c+d\text{ là hợp số}\)(vì a+b+c+d chia hết cho 2)
Vậy...