cho a,b>0. Chứng minh 9+ab>=2√9ab
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NB
2
29 tháng 7 2017
Sửa đề:
\(3a^3+6b^3=a^3+a^3+a^3+b^3+b^3+b^3+b^3+b^3+b^3\)
\(\ge9\sqrt[9]{a^3.a^3.a^3.b^3.b^3.b^3.b^3.b^3.b^3}=9\sqrt[9]{a^9.b^{18}}=9ab^2\)
2 tháng 1 2023
\(=9\sqrt{ab}-6\sqrt{ab}+\dfrac{1}{b}\cdot3b\sqrt{ab}\)
\(=3\sqrt{ab}+3\sqrt{ab}=6\sqrt{ab}\)
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 5 2019
a/
Do \(\left\{{}\begin{matrix}a>2\Rightarrow\frac{1}{a}< \frac{1}{2}\\b>2\Rightarrow\frac{1}{b}< \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}< \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}< 1\Rightarrow a+b< ab\) (đpcm)
b/ Ko rõ đề là gì
c/ \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
VT
10 tháng 11 2017
a/bc + b/ac >= 2.căn(1/c^2) = 2/c
tương tự:
a/bc + c/ab >= 2/b
b/ac + c/ab >= 2/a
cộng vế theo vế ;
ta đc
a/bc +b/ac+ c/ab >= 1/a +1/b +1/c
2)
a / (b+c) + 1 = (a+b+c)/(b+c)
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) + 3 = (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b))
áp dụng bđt cauchy quen thuộc
(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z) >= 9
=> 2(a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b))
= (a+b + b+c + c+a)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) >=9
=> (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) >= 9/2
=> (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) -3 >= 3/2
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) + 3 -3 >= 3/2
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >=3/2
Chắc làm vậy
VQ
2
14 tháng 5 2018
Ta có:
\((3b-2a)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) \(9b^2-12ab+4a^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) \((9b^2+4a^2+13ab)-25ab\ge0\)
\(\Rightarrow\)\((9b^2+9ab+4a^2+4ab)-25ab\ge0\)
\(\Rightarrow\)\((a+b)\left(9a+4b\right)\ge25ab\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{9a+4b}{ab}\ge\dfrac{25}{a+b}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{9}{b}+\dfrac{4}{a}\ge\dfrac{25}{2}\) ( vì a+b = 2) (đpcm)
(Bài toán này áp dụng theo hệ quả của bất đẳng thức cauchy-schwar.)
22 tháng 11 2017
\(3a^2+3b^2=10ab\)
\(\Rightarrow3a^2-10ab+3b^2=0\)
\(\Rightarrow3a^2-ab-9ab+3b^2=0\)
\(\Rightarrow\left(3a^2-ab\right)-\left(9ab-3b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(3a-b\right)-3b\left(3a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(3a-b\right)\left(a-3b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3a-b=0\\a-3b=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-3a\\b=\dfrac{a}{3}\end{matrix}\right.\)
Với \(b=-3a,\)có :
\(P=\dfrac{-3a-a}{-3a+a}=\dfrac{-4a}{-2a}=2\)
Với \(b=\dfrac{a}{3},\)có :
\(P=\dfrac{\dfrac{a}{3}-a}{\dfrac{a}{3}+a}=\dfrac{\dfrac{a}{3}-\dfrac{3a}{3}}{\dfrac{a}{3}+\dfrac{3a}{3}}=\dfrac{-\dfrac{2a}{3}}{\dfrac{4a}{3}}=-\dfrac{2a}{3}.\dfrac{3}{4a}=-\dfrac{1}{2}\)
( Nếu sai thì cho mk xin lỗi nha bn , tại mk ko chắc lắm )
NK
1
C1: dùng pp biến đổi tương đương
\(9+ab\ge2\sqrt{9ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(9+ab\right)^2\ge\left(2\sqrt{9ab}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow81+18ab+a^2b^2\ge36ab\)
\(\Leftrightarrow81-18ab+a^2b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(9-ab\right)^2\ge0\) là bất đẳng thức đúng
Vậy ta có đpcm. Dấu "=" khi ab = 9
C2: Dùng bất đẳng thức Cô-si
\(9+ab\ge2\sqrt{9ab}\)
Dấu "=" khi ab = 9
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:
\(\Rightarrow9+ab\ge2\sqrt{9ab}\)