Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. CMR: x3 + y3 + z3 \(\ge\) x + y + z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 1 2021
Áp dụng bđt AM - GM:
\(x^3+1+1\ge3x;y^3+1+1\ge3y;z^3+1+1\ge3z;2x+2y+2z\ge6\sqrt[3]{xyz}=6\).
Cộng vế với vế các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.
NA
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 10 2021
Lời giải:
a. Xét hiệu:
$x^3+y^3-xy(x+y)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)=x^2(x-y)-y^2(x-y)$
$=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$
$\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
b.
Áp dụng BĐT phần a vô:
$x^3+y^3\geq xy(x+y)$
$\Rightarrow x^3+y^3+1\geq xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$
$\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
$\text{VT}\geq \frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
12 tháng 1 2023
a: (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3
=(x+y+z-x)(x^2+2xy+y^2-x^2-xy-xz+z^2)-(y+z)(y^2-yz+z^2)
=(x+y)(y+z)(x+z)
b: x^3+y^3+z^3=1
x+y+z=1
=>x+y=1-z
x^3+y^3+z^3=1
=>(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)=1
=>(1-z)^3+z^3-3xy(1-z)=1
=>1-3z-3z^2-z^3+z^3-3xy(1-z)=1
=>1-3z+3z^2-3xy(1-z)=1
=>-3z+3z^2-3xy(1-z)=0
=>-3z(1-z)-3xy(1-z)=0
=>(z-1)(z+xy)=0
=>z=1 và xy=0
=>z=1 và x=0; y=0
A=1+0+0=1
QP
0
L2
0
\(x^3+1+1\ge3\sqrt[3]{x^3}=3x\); \(y^3+1+1\ge3y\); \(z^3+1+1\ge3z\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3+6\ge3\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+2.3\sqrt[3]{xyz}=x+y+z+6\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Bạn làm gì vậy? Mình học lớp 8 mà