K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KT
0
T
26 tháng 7 2019
ấy chết,sửa: \(\sqrt{xyz}\) thành \(\sqrt[3]{xyz}\). Em cứ nhầm cái này
T
26 tháng 7 2019
Em thử nha, ko chắc đâu;( em thấy nó giống giống lời giải một bài toán nào đó trên tạp chí toán tuổi thơ mà em đã đọc qua lúc trước: chỗ khúc cuối xét \(t_1>t_2\ge3\) ấy ạ. Nên bắt chước lại chỗ đó. tạm thời em chưa nghĩ ra lời nào khác.
Từ đề bài ta có \(1=xyz\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\Rightarrow t=x+y+z\ge3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{t^2}{t+3}\). Cần chứng minh \(\frac{t^2}{t+3}\ge\frac{3}{2}\left(t\ge3\right)\Leftrightarrow f\left(t\right)=2t^2-3t-9\ge0\) (1)
Xét \(t_1>t_2\ge3\). Khi đó \(f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=2\left(t_1^2-t_2^2\right)-3\left(t_1-t_2\right)\)
\(=2\left(t_1-t_2\right)\left(t_1+t_2\right)-3\left(t_1-t_2\right)\)
\(=\left(t_1-t_2\right)\left(2t_1+2t_2-3\right)>\left(t_1-t_2\right)\left(2.3+2.3-3\right)=9\left(t_1-t_2\right)>0\) (do \(t_1>t_2\ge3\))
Do đó khi t tăng thì hàm số f(t) tăng, tương tự t giảm thì f(t) giảm với \(t\ge3\). Do đó f(t) đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 3.
Khi đó f(t) = 0. Do đó (1) đúng hay ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 10 2019
Đề bài sai bạn: ví dụ cho \(y=z=0\); \(x=4\) thì \(\frac{4}{6}\le\frac{1}{3}\) (vô lý)
D
0
DT
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\text{VT}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\frac{1}{y}}+\frac{\left(\frac{y}{z}\right)^2}{\frac{1}{z}}+\frac{\left(\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}}\geq \frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\)
Giờ ta cần chỉ ra \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Thật vậy, do $xyz=1$ nên tồn tại các số dương \(a,b,c\) sao cho:
\((x,y,z)=\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right)\)
Bài toán tương đương với
\(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)
Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:
\((ab)^3+(ab)^3+(bc)^3\geq 3b^3ca^2\)
Thực hiện tương tự và cộng theo vế, suy ra:
\(3[(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3]\geq 3(a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2)\)
\(\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=1\)
VH
14 tháng 1 2020
Áp dụng BĐT AM - GM:
\(\sqrt{1+x^3+y^3}\ge\sqrt{3\sqrt[3]{1.x.y}}=\sqrt{3xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}\)
Tương tự: \(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3yz}}{yz}\); \(\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\frac{\sqrt{3zx}}{zx}\)
\(\Rightarrow S\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)
\(=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\right)\)
\(=3\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow min_S=3\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 8 2020
\(xyz\left(x+y+z\right)=1\Leftrightarrow yz\left(x^2+xy+xz\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x^2+xy+xz=\frac{1}{yz}\)
\(A=x^2+xy+xz+yz=\frac{1}{yz}+yz\ge2\sqrt{\frac{yz}{yz}}=2\)
\(A_{min}=2\) khi \(yz=1\)
Áp dụng bđt AM - GM:
\(x^3+1+1\ge3x;y^3+1+1\ge3y;z^3+1+1\ge3z;2x+2y+2z\ge6\sqrt[3]{xyz}=6\).
Cộng vế với vế các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.
Áp dụng BĐT Cosi:
\(\left(x^3+1+1\right)+\left(y^3+1+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\)
\(\ge3\left(x+y+z\right)\)
\(\ge x+y+z+2.3\sqrt[3]{xyz}\)
\(=x+y+z+6\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)