Question

[Trần Việt Hoàng]

Chứng minh rằng : x²+y²+z² lớn hơn hoặc bằng xy+yz+xz với mọi x;y;z

Olala blabla ai làm nhanh và đúng nhất thì ... nhé !

Answer 1

[Phạm Thị Thùy Linh]

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)\(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\)\(\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)(luôn đúng )

\(\Rightarrow\)Phương trình ( 1) đúng ( đpcm)

Dấu bằng sảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\Rightarrow x=y=z}\)

Answer 2

[Trần Thanh Phương]

@Phạm Thị Thùy Linh hoặc có thể dùng bđt Cauchy cũng được, sau này lên lớp 9 sẽ áp dụng nhiều 

Bài làm :

Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\x^2+z^2\ge2\sqrt{x^2z^2}=2xz\end{cases}}\)

Cộng vế của các bất đẳng thức ta được :

\(x^2+y^2+y^2+z^2+x^2+z^2\ge2xy+2yz+2xz\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)