Cho \(3x+y\ge1\)tìm min \(H=x^2+y^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PK
0
TA
26 tháng 7 2017
Từ giả thiết suy ra
\(\left(x-1\right)\left(y-1\right)+\left(y-1\right)\left(z-1\right)+\left(z-1\right)\left(x-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)-3\) (1)
Lại có \(3x^2+4y^2+5z^2=52\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)=52+2x^2+y^2\ge52+2.1+1=55\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge11\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\left(x+y+z\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\ge11+4\left(x+y+z\right)-6\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-4\left(x+y+z\right)-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow P^2-4P-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(P+1\right)\left(P-5\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\ge5\)
Vậy \(P_{min}=5\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=3\end{cases}}\)
22 tháng 7 2019
1) \(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge8\)
\(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\)\(\Leftrightarrow\)\(xy=2\left(x+y\right)\ge16\)
\(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt[4]{xy}\ge2\sqrt[4]{16}=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=4\)
2) \(B=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\ge\sqrt{3x-5+7-3x}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\x=\frac{7}{3}\end{cases}}\)
\(B=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\le\frac{3x-5+1+7-3x+1}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=2\)
HB
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2019
Lời giải:
Thực hiện khai triển và rút gọn ta có:
$A=3x^2y^2+2x^4+2y^4-(x^2+y^2)=\frac{3}{2}(x^2+y^2)^2+\frac{x^4+y^4}{2}-(x^2+y^2)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^4+y^4\geq 2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
\(\Rightarrow 2(x^4+y^4)\geq x^4+y^4+2x^2y^2=(x^2+y^2)^2\)
\(\Rightarrow x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}\)
\(\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}(x^2+y^2)^2+\frac{(x^2+y^2)^2}{4}-(x^2+y^2)\)
Đặt $x^2+y^2=t$
Ta có: $t=x^2+y^2=\frac{1}{2}(x+y)^2+\frac{1}{2}(x-y)^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\geq \frac{1}{2}$ do $x+y\geq 1$
Do đó: \(A\geq \frac{3}{2}t^2+\frac{t^2}{4}-t=\frac{7}{4}t^2-t=(t-\frac{1}{2})(\frac{7}{4}t-\frac{1}{8})-\frac{1}{16}\geq \frac{-1}{16}\) với mọi $t\geq \frac{1}{2}$
Vậy $A_{\min}=\frac{-1}{16}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
NP
2
20 tháng 8 2016
Ta có 3x2+y2+2xy+4=7x+3y
<=> (x2 + 2xy + y2 ) - 3(x + y) + 2(x2 - 2x +1) + 2 = 0
<=> P2 - 3P + 9/4 + 2(x - 1)2 - 1/4 = 0
<=> (P - 3/2)2 = 1/4 - 2(x - 1)2
<=> P - 3/2 = 1/4 - 2(x - 1)2 hoặc P - 3/2 = 2(x - 1)2 - 1/4
Tương ứng với mỗi cái ta sẽ có GTLN, GTNN phần còn lại bạn giải nha
4 tháng 12 2017
Ta có 3x
2+y
2+2xy+4=7x+3y
<=> (x
2 + 2xy + y
2
) - 3(x + y) + 2(x
2
- 2x +1) + 2 = 0
<=> P
2
- 3P + 9/4 + 2(x - 1)2
- 1/4 = 0
<=> (P - 3/2)2 = 1/4 - 2(x - 1)2
<=> P - 3/2 = 1/4 - 2(x - 1)2 hoặc P - 3/2 = 2(x - 1)2
- 1/4
Tương ứng với mỗi cái ta sẽ có GTLN, GTNN phần còn lại bạn giải nha
chúc cậu hok tốt @_@
áp dụng bất dẳng thức bunhiacopxki
\(\left(3x+1.y\right)^2\le\left(3^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow10\left(x^2+y^2\right)\ge\left(3x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow10\left(x^2+y^2\right)\ge\left(3x+y\right)^2\ge1^2\left(do3x+y\ge1\right).\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{10}.\)
Vậy min \(x^2+y^2=\frac{1}{10}\)