Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ giả thiết suy ra
\(\left(x-1\right)\left(y-1\right)+\left(y-1\right)\left(z-1\right)+\left(z-1\right)\left(x-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)-3\) (1)
Lại có \(3x^2+4y^2+5z^2=52\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)=52+2x^2+y^2\ge52+2.1+1=55\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge11\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\left(x+y+z\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\ge11+4\left(x+y+z\right)-6\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-4\left(x+y+z\right)-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow P^2-4P-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(P+1\right)\left(P-5\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\ge5\)
Vậy \(P_{min}=5\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=3\end{cases}}\)
1) \(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge8\)
\(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\)\(\Leftrightarrow\)\(xy=2\left(x+y\right)\ge16\)
\(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt[4]{xy}\ge2\sqrt[4]{16}=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=4\)
2) \(B=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\ge\sqrt{3x-5+7-3x}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\x=\frac{7}{3}\end{cases}}\)
\(B=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\le\frac{3x-5+1+7-3x+1}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=2\)
nếu ko cần tìm x và y, được sử dụng cô-si thì áp dụng vào biểu thức cần tìm min là được
\(H=x^2+xy+y^2-3x-3y\)
\(H=\left(x^2+2xy+y^2\right)-3\left(x+y\right)-xy\)
\(H=\left(x+y\right)^2-3\left(x+y\right)-xy\)
Ta có : \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow-xy\ge-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Thay vào rồi tự tính ta được minH= -3 khi x=y=1
áp dụng bất dẳng thức bunhiacopxki
\(\left(3x+1.y\right)^2\le\left(3^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow10\left(x^2+y^2\right)\ge\left(3x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow10\left(x^2+y^2\right)\ge\left(3x+y\right)^2\ge1^2\left(do3x+y\ge1\right).\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{10}.\)
Vậy min \(x^2+y^2=\frac{1}{10}\)