Cho m>n, chứng minh:
2-4m<3-4n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 11 2019
Lời giải:
Ta có:
\(3m^2+m=4n^2+n\)
\(\Leftrightarrow 4m^2+m=4n^2+n+m^2\)
\(\Leftrightarrow 4(m^2-n^2)+(m-n)=m^2\)
\(\Leftrightarrow (m-n)(4m+4n+1)=m^2\)
Đặt $d$ là ước chung lớn nhất của $m-n$ và $4m+4n+1$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m-n\vdots d\\ 4m+4n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2=(m-n)(4m+4n+1)\vdots d^2\\ 4(m-n)+(4m+4n+1)\vdots d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\vdots d\\ 8m+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)
Vậy $m-n, 4m+4n+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của chúng là 1 số chính phương nên bản thân $m-n, 4m+4n+1$ cũng là các số chính phương (đpcm).
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 11 2019
Lời giải:
Ta có:
\(3m^2+m=4n^2+n\)
\(\Leftrightarrow 4m^2+m=4n^2+n+m^2\)
\(\Leftrightarrow 4(m^2-n^2)+(m-n)=m^2\)
\(\Leftrightarrow (m-n)(4m+4n+1)=m^2\)
Đặt $d$ là ước chung lớn nhất của $m-n$ và $4m+4n+1$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m-n\vdots d\\ 4m+4n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2=(m-n)(4m+4n+1)\vdots d^2\\ 4(m-n)+(4m+4n+1)\vdots d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\vdots d\\ 8m+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)
Vậy $m-n, 4m+4n+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của chúng là 1 số chính phương nên bản thân $m-n, 4m+4n+1$ cũng là các số chính phương (đpcm).
NN
0
TN
2
8 tháng 1 2017
Ta có: 24n+1 + 34m+1
= 24n.2 + 34m.3
= (24)n.2 + (34)m.3
= (...6)n.2 + (...1)m.3
= (...6).2 + (...1).3
= (...2) + (...3)
= ...5
Vì ...5⋮5 nên 24n+1+34m+1⋮5
Vậy 24n+1+34m+1⋮5
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 5 2019
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+4m+3=m^2+2m+4=\left(m+1\right)^2+3>0\)
\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-4m-3\end{matrix}\right.\)
Mặt khác do \(x_1;x_2\) là nghiệm nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-2\left(m-1\right)x_1-4m-3=0\\x_2^2-2\left(m-1\right)x_2-4m-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-2mx_1-4m=-2x_1+3\\x_2^2-2mx_2-4m=-2x_2+3\end{matrix}\right.\)
Thay vào bài toán:
\(\Leftrightarrow\left(-2x_1+3\right)\left(-2x_2+3\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow4x_1x_2-6\left(x_1+x_2\right)+9< 0\)
\(\Leftrightarrow-16m-12-12m+12< 0\)
\(\Leftrightarrow-28m< 0\Rightarrow m>0\)
PN
3 tháng 4 2016
Để giải được bài toán sau thì ta liên tưởng đến một tính chất rất đặc biệt và hữu ích được phát biểu như sau:
\("\) Nếu \(a,b\) là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và \(a.b\) là một số chính phương thì \(a\) và \(b\) đều là các số chính phương \("\)
Ta có:
\(4m^2+m=5n^2+n\)
\(\Leftrightarrow\) \(4m^2+m-5n^2-n=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(5m^2-5n^2+m-n=m^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\) \(\left(\text{*}\right)\)
Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(m-n\) và \(5m+5n+1\) \(\left(\text{**}\right)\), khi đó:
\(m-n\) chia hết cho \(d\) \(\Rightarrow\) \(5\left(m-n\right)\) chia hết cho \(d\)
\(5m+5n+1\) chia hết cho \(d\)
nên \(\left[\left(5m+5n+1\right)+5\left(m-n\right)\right]\) chia hết cho \(d\)
\(\Leftrightarrow\) \(10m+1\) chia hết cho \(d\) \(\left(1\right)\)
Mặt khác, từ \(\left(\text{*}\right)\), với chú ý cách gọi ở \(\left(\text{**}\right)\), ta suy ra được: \(m^2\) chia hết cho \(d^2\)
Do đó, \(m\) chia hết cho \(d\)
\(\Rightarrow\) \(10m\) chia hết cho \(d\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\), ta có \(1\) chia hết cho \(d\) \(\Rightarrow\) \(d=1\)
Do đó, \(m-n\) và \(5m+5n+1\) là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau
Kết hợp với \(\left(\text{*}\right)\) và điều mới chứng minh trên, thỏa mãn tất cả các điều kiện cần thiết ở tính chất nêu trên nên ta có đpcm
Vậy, \(m-n\) và \(5m+5n+1\) đều là các số chính phương.
T
5 tháng 8 2017
\(\left(m+1\right)^2\ge4m\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m+1\ge4m\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1\ge0\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2\ge0\)
\(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1+n^2-2n+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\)
5 tháng 8 2017
làm câu đầu trước nha :
<=> m2+2m+1>=4m
<=>m2-2m+1>=0
<=>(m-1)2>=0 ( điều phải chứng minh
NK
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 9 2017
Lời giải:
Xét \(x_1,x_2\in\mathbb{R}\), giả sử \(x_1< x_2\). Ta có:
\(f(x_1)-f(x_2)=(2m^2-2m+7)x_1+3m^2-m-1-[(2m^2-4m+7)x_2+3m^2-m-1]\)
\(\Leftrightarrow f(x_1)-f(x_2)=(2m^2-2m+7)(x_1-x_2)\)
Ta thấy \(2m^2-2m+7=m^2+(m-1)^2+6\geq 6>0\) với mọi \(m\in\mathbb{R}\), mà \(x_1< x_2\)
Do đó, \((2m^2-2m+7)(x_1-x_2)< 0\Leftrightarrow f(x_1)< f(x_2)\)
Như vậy, với \(x_1< x_2\Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\), do đó hàm số đồng biến trên R
19 tháng 7 2017
\(\left(4m-1\right)\left(n-4\right)-\left(m-4\right)\left(4n-1\right)\)= 4mn-16m-n+4-4mn+m+16n=15n-15m=15(n-m)
Thấy 15 chia hết cho 5 => 15(m+n) chia hết cho 5 với mọi x
Ta có m> n <=> 4m>4n<=> -4m <-4n mà 2<3 <=> 2-4m < 3-4n