Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn 2x + 2y + z = 4. Tìm GTLN của biểu thức A = 2xy + yz + xz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NB
0
HN
27 tháng 4 2018
\(A=2xy+yz+xz\)
\(=2xy+y\left(4-2x-2y\right)+x\left(4-2x-2y\right)\)
\(=-2x^2-2xy+4x-2y^2+4y\)
\(=\left[-\left(x^2+2xy+y^2\right)+\dfrac{8}{3}\left(x+y\right)-\dfrac{16}{9}\right]-\left(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}\right)-\left(y-\dfrac{4}{3}y+\dfrac{4}{9}\right)+\dfrac{8}{3}\)\(=-\left(x+y-\dfrac{4}{3}\right)^2-\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2-\left(y-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}\le\dfrac{8}{3}\)
Vậy \(A_{max}=\dfrac{8}{3}\) tại \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
27 tháng 4 2018
z = 4-2(x+y)
=> A= 2xy + y[4-2(x+y)] + x[4-2(x+y)]
=\(2xy+4y-2xy-2y^2+4x-2x^2-2xy\)
= \(-\left(y^2-4y+4\right)-\left(x^2-4x+4\right)-\left(y^2+2xy+x^2\right)+8\)
=\(8-\left[\left(y-2\right)^2+\left(x-2\right)^2-\left(y-x\right)^2\right]\le8\forall x,y\)
vậy GTLN của A là 8 khi x=y=2
C
Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z = 2. Tìm GTLN của biểu thức
\(P=\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\)
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 12 2021
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+x+z\right)=\dfrac{1}{2}\left(2x+y+z\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{2y+xz}\le\dfrac{1}{2}\left(x+2y+z\right)\) ; \(\sqrt{2z+xy}\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+2z\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(4x+4y+4z\right)=4\)
\(P_{max}=4\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
XO
31 tháng 12 2021
P = \(1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)
\(=\sqrt{3.\left(4+xy+yz+zx\right)}\)
Đã biết x2 + y2 + z2 \(\ge\)xy + yz + zx
=> xy + yz + zx \(\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Khi đó \(P\le\sqrt{3\left(4+xy+yz+zx\right)}\le\sqrt{3\left[4+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}\)
= 4
Dấu "=" xảy ra <=> x = 2/3
30 tháng 12 2021
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{\left(x+y+z\right)x+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{x+2y+z}{2}\\ \Leftrightarrow P=\sum\sqrt{2x+yz}\le\dfrac{x+2y+z+2x+y+z+x+y+2z}{2}=\dfrac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\cdot2=4\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
9 tháng 5 2019
2x + 2y + z = 4(1)
A = 2xy + yz + xz(2)
(1) z=2c<=>x+y=2-c($)
(2)<=>2xy+2yc+2cx=A
A=2B<=>xy +(x+y).c=B
xy=B-c(2-c)
($:%)=> ton tai nghiem x,y
(c-2)^2≥4[B+c(c-2)]
c^2-4c+4≥4B+4c^2-8c
-3c^2+4c≥4B-4
-3(c^2-2.2/3c+4/9)≥4B-4-4/3
-3(c-2/3)^2≥4B-16/3
=> B≤4/3
A≤8/3
dang thuc khi c=2/3; z=1/3
x=y=2/3
9 tháng 5 2019
A=2xy+yz+xzA=2xy+yz+xz
=2xy+y(4−2x−2y)+x(4−2x−2y)=2xy+y(4−2x−2y)+x(4−2x−2y)
=−2x2−2xy+4x−2y2+4y=−2x2−2xy+4x−2y2+4y
=[−(x2+2xy+y2)+83(x+y)−169]−(x2−43x+49)−(y−43y+49)+83=[−(x2+2xy+y2)+83(x+y)−169]−(x2−43x+49)−(y−43y+49)+83=−(x+y−43)2−(x−23)2−(y−23)2+83≤83=−(x+y−43)2−(x−23)2−(y−23)2+83≤83
Vậy Amax=83Amax=83 tại
SN
0
16 tháng 6 2020
\(P\le\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{6x^2y^2z^2}\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{6x^2y^2z^2}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=1\)
16 tháng 6 2020
mình nhầm :) làm lại nhé
\(P\le\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\frac{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}{6xyz}\le\frac{xy+yz+zx}{2xyz}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}=\frac{3}{2}\)
\(2x+2y+z=4\Rightarrow z=4-2x-2y\)
Ta có: \(A=2xy+yz+xz\)
\(=2xy+y\left(4-2x-2y\right)+x\left(4-2x-2y\right)\)
\(=2xy+4y-2xy-2y^2+4x-2x^2-2xy\)
\(=4y-2xy-2y^2+4x-2x^2\)
\(\Rightarrow2A=8y-4xy-4y^2+8x-4x^2\)
\(=-4x^2-4x\left(y-2\right)-4y^2+8y\)
\(=-4x^2-2.x.2\left(y-2\right)-\left(y-2\right)^2+\left(y-2\right)^2-4y^2+8y\)
\(=-\left[4x^2+2.x.2\left(y-2\right)+\left(y-2\right)^2\right]+\left(y-2\right)^2-4y^2+8y\)
\(=-\left(2x+y-2\right)^2+y^2-4y+4-4x^2+8y\)
\(=-\left(2x+y-2\right)^2-3y^2+4y+4\)
\(=-\left(2x+y-2\right)^2-3\left(y^2-2.\frac{2}{3}y+\frac{4}{9}-\frac{4}{9}-\frac{4}{3}\right)\)
\(=-\left(2x+y-2\right)^2-3\left(y-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{16}{3}\)
\(=\frac{16}{3}-\left[\left(2x+y-2\right)^2+3\left(y-\frac{2}{3}\right)^2\right]\)
Vì \(\left(2x+y-2\right)^2\ge0;\left(y-\frac{2}{3}\right)^2\ge0\) Nên \(\frac{16}{3}-\left[\left(2x+y-2\right)^2+3\left(y-\frac{2}{3}\right)^2\right]\le\frac{16}{3}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{16}{3}:2=\frac{8}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}y-\frac{2}{3}=0\\2x+y-2=0\\z=4-2x-2y\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-y+2}{2}\\y=\frac{2}{3}\\z=4-2x-2y\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{3}\\y=\frac{2}{3}\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}}\)
Vậy AMax = 8/3 khi và chỉ khi x = y = 2/3 và z = 4/3