Cho \(\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{5+5cos^2x+6sin2x}{\left(2sinx+3cosx\right)^2}dx=\frac{a\pi+b}{c}\) với a, b, c là các số nguyên dương. Tính \(T=a+b+c\).
A. 79
B. 36
C. 63
D. 69
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VM
23 tháng 2 2017
Mình giải giúp b câu 1 này
Ở phần mẫu bạn biến đổi \(cos^2xsin^2x=\frac{1}{4}\left(4cos^2xsin^2x\right)=\frac{1}{4}sin^22x\)
Đặt t = sin2x => \(d\left(t\right)=2cos2xdx\)
Đổi cận \(x=\frac{\pi}{4}=>t=1\) \(x=\frac{\pi}{3}=>t=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ta có biểu thức trên sau khi đổi biến và cận
\(\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_1\frac{\frac{1}{2}dt}{\frac{1}{4}t^2}=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_1\frac{2}{t^2}dt=\left(-\frac{2}{t}\right)\)lấy cận từ 1 đến \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(=-\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-\left(-\frac{2}{1}\right)=2-4\frac{\sqrt{3}}{3}\) => a=2 và b=-4/3 vậy A=2/3 nhé
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 2 2017
Câu 1)
Ta có:
\(I=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos 2x}{\cos^2 x\sin^2 x}dx=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos^2x-\sin ^2x}{\cos^2 x\sin^2 x}dx\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\sin^2 x}-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\cos ^2x}=-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}d(\cot x)-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}d(\tan x)\)
\(=-\left ( \frac{\sqrt{3}}{3}-1 \right )-(\sqrt{3}-1)=2-\frac{4}{3}\sqrt{3}\Rightarrow a+b=\frac{2}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 2 2020
\(\frac{1}{1+tanx}=\frac{cosx}{cosx+sinx}=\frac{1}{2}\left(\frac{cosx+sinx}{cosx+sinx}+\frac{-sinx+cosx}{cosx+sinx}\right)\)
\(\Rightarrow\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{1+tanx}dx=\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\left(1+\frac{-sinx+cosx}{cosx+sinx}\right)dx=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{2}dx+\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{d\left(cosx+sinx\right)}{cosx+sinx}\)
\(=\frac{1}{2}x|^{\frac{\pi}{4}}_0+\frac{1}{2}ln\left(sinx+cosx\right)|^{\frac{\pi}{4}}_0=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}ln\sqrt{2}=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}ln2\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{8}\) ; \(b=\frac{1}{4}\)
DL
20 tháng 2 2021
Câu nào mình biết thì mình làm nha.
1) Đổi thành \(\dfrac{y^4}{4}+y^3-2y\) rồi thế số.KQ là \(\dfrac{-3}{4}\)
2) Biến đổi thành \(\dfrac{t^2}{2}+2\sqrt{t}+\dfrac{1}{t}\) và thế số.KQ là \(\dfrac{35}{4}\)
3) Biến đổi thành 2sinx + cos(2x)/2 và thế số.KQ là 1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2017
a)
Ta có \(A=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x\cos^2xdx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x(\cos 2x+1)d(2x)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos x(\cos x+1)dx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos xdx+\frac{1}{8}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\cos 2x+1)dx\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin x+\frac{1}{16}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin 2x+\frac{1}{8}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|x=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{16}\)
b)
\(B=\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{e^x}{e^{2x}-1}dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x+1} \right )d(e^x)\)
\(\Leftrightarrow B=\frac{1}{2}\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{matrix}\right|\left | \frac{e^x-1}{e^x+1} \right |\approx 0.317\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2017
c)
Có \(C=\int ^{1}_{0}\frac{(x+2)\ln(x+1)}{(x+1)^2}d(x+1)\).
Đặt \(x+1=t\)
\(\Rightarrow C=\int ^{2}_{1}\frac{(t+1)\ln t}{t^2}dt=\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t}dt+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)
\(=\int ^{2}_{1}\ln td(\ln t)+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\frac{\ln ^22}{2}+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln t\\ dv=\frac{dt}{t^2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dt}{t}\\ v=\frac{-1}{t}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|-\frac{\ln t+1}{t}=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2 }{2}\)
\(\Rightarrow C=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{\ln ^22}{2}\)
1 tháng 4 2017
a)
Ta có:
∫π20cos2xsin2xdx=12∫π20cos2x(1−cos2x)dx=12∫π20[cos2x−1+cos4x2]dx=14∫π20(2cos2x−cos4x−1)dx=14[sin2x−sin4x4−x]π20=−14.π2=−π8∫0π2cos2xsin2xdx=12∫0π2cos2x(1−cos2x)dx=12∫0π2[cos2x−1+cos4x2]dx=14∫0π2(2cos2x−cos4x−1)dx=14[sin2x−sin4x4−x]0π2=−14.π2=−π8
b)
Ta có: Xét 2x – 2-x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.
Ta tách thành tổng của hai tích phân:
∫1−1|2x−2−x|dx=−∫0−1(2x−2−x)dx+∫10(2x−2−x)dx=−(2xln2+2−xln2)∣∣0−1+(2xln2+2−xln2)∣∣10=1ln2∫−11|2x−2−x|dx=−∫−10(2x−2−x)dx+∫01(2x−2−x)dx=−(2xln2+2−xln2)|−10+(2xln2+2−xln2)|01=1ln2
c)
∫21(x+1)(x+2)(x+3)x2dx=∫21x3+6x2+11x+6x2dx=∫21(x+6+11x+6x2)dx=[x22+6x+11ln|x|−6x]∣∣21=(2+12+11ln2−3)−(12+6−6)=212+11ln2∫12(x+1)(x+2)(x+3)x2dx=∫12x3+6x2+11x+6x2dx=∫12(x+6+11x+6x2)dx=[x22+6x+11ln|x|−6x]|12=(2+12+11ln2−3)−(12+6−6)=212+11ln2
d)
∫201x2−2x−3dx=∫201(x+1)(x−3)dx=14∫20(1x−3−1x+1)dx=14[ln|x−3|−ln|x+1|]∣∣20=14[1−ln2−ln3]=14(1−ln6)∫021x2−2x−3dx=∫021(x+1)(x−3)dx=14∫02(1x−3−1x+1)dx=14[ln|x−3|−ln|x+1|]|02=14[1−ln2−ln3]=14(1−ln6)
e)
∫π20(sinx+cosx)2dx=∫π20(1+sin2x)dx=[x−cos2x2]∣∣π20=π2+1∫0π2(sinx+cosx)2dx=∫0π2(1+sin2x)dx=[x−cos2x2]|0π2=π2+1
g)
I=∫π0(x+sinx)2dx∫π0(x2+2xsinx+sin2x)dx=[x33]∣∣π0+2∫π0xsinxdx+12∫π0(1−cos2x)dxI=∫0π(x+sinx)2dx∫0π(x2+2xsinx+sin2x)dx=[x33]|0π+2∫0πxsinxdx+12∫0π(1−cos2x)dx
Tính :J=∫π0xsinxdxJ=∫0πxsinxdx
Đặt u = x ⇒ u’ = 1 và v’ = sinx ⇒ v = -cos x
Suy ra:
J=[−xcosx]∣∣π0+∫π0cosxdx=π+[sinx]∣∣π0=πJ=[−xcosx]|0π+∫0πcosxdx=π+[sinx]|0π=π
Do đó:
I=π33+2π+12[x−sin2x2]∣∣π30=π33+2π+π2=2π3+15π6
Để ý rằng \(\left\{{}\begin{matrix}5=1+4\left(sin^2x+cos^2x\right)\\\left(2sinx+3cosx\right)^2=4sin^2x+9cos^2x+6sin2x\end{matrix}\right.\)
\(\frac{5+5cos^2x+6sin2x}{\left(2sinx+3cosx\right)^2}=\frac{4sin^2x+9cos^2x+6sin2x+1}{\left(2sinx+3cosx\right)^2}=1+\frac{1}{\left(2sinx+3cosx\right)^2}\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0dx+\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{dx}{\left(2sinx+3cosx\right)^2}=\frac{\pi}{4}+I_1\)
\(I_1\) có thể ném vào casio và cho kết quả \(\frac{1}{15}\), hoặc nếu thích tính tay thì ta chia cả tử và mẫu cho \(cos^2x\) và sau đó đặt \(t=tanx\) là xong
\(\Rightarrow I=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{15}=\frac{15\pi+4}{60}\Rightarrow a+b+c=79\)