chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:
\(a\left(x-b\right)\left(x-c\right)+b\left(x-c\right)\left(x-a\right)+c\left(x-a\right)\left(x-b\right)=0\)
Với \(\forall a,b,c\in R\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)\)
Hàm \(f\left(x\right)\) hiển nhiên liên tục trên R
Do vai trò a;b;c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(a< b< c\)
\(f\left(a\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
\(f\left(b\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)
\(f\left(c\right)=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
\(f\left(a\right).f\left(b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)=\left(a-b\right)^2\left(c-a\right)\left(b-c\right)\)
Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-a>0\\b-c< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b)
\(f\left(b\right).f\left(c\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)=\left(b-c\right)^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)\)
Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b< 0\\c-a>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(b\right).f\left(c\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (b;c)
Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow3x^2-2\left(a+b+c\right)x+ab+bc+ca=0\)
Pt có nghiệm kép khi và chỉ khi:
\(\Delta'=\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Lời giải:Đặt $A=f(1)=a+b+c; B=f(-1)=a-b+c; C=f(0)=c$
Theo đề bài: $|A|, |B|, |C|\leq 1$
\(|a|+|b|+|c|=|\frac{A+B}{2}-C|+|\frac{A-B}{2}|+|C|\)
\(\leq |\frac{A+B}{2}|+|-C|+|\frac{A-B}{2}|+|C|=|\frac{A}{2}|+|\frac{B}{2}|+|C|+|\frac{A}{2}|+|\frac{-B}{2}|+|C|\)
\(=|A|+|B|+2|C|\leq 1+1+2=4\) (đpcm)
Lời giải:
$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$
$\Leftrightarrow 3x^2-2x(a+b+c)+(ab+bc+ac)=0$
Ta thấy:
$\Delta'=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$
$=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0$ với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$
$\Rightarrow$ PT đã cho luôn có nghiệm với mọi $a,b,c$
Một cách dựa vào hàm số:
Đặt \(VT=f\left(x\right)\)
- Nếu 2 trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc một trong 3 số bằng 0 thì pt hiển nhiên có nghiệm
- Nếu không có bất cứ cặp nào bằng nhau và đều khác 0, do tính đối xứng của \(f\left(x\right)\) , không làm mất tính tổng quát, giả sử \(a>b>c\) ta có:
\(f\left(a\right)=a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
Do \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)>0\Rightarrow f\left(a\right)\) cùng dấu với \(a\) \(\Rightarrow a.f\left(a\right)>0\) (1)
\(f\left(b\right)=b\left(b-c\right)\left(b-a\right)\)
Do \(\left(b-c\right)\left(b-a\right)< 0\Rightarrow b.f\left(b\right)< 0\) (2)
\(f\left(c\right)=c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
Do \(\left(c-a\right)\left(c-b\right)< 0\Rightarrow c.f\left(c\right)>0\) (3)
- Nếu a, c cùng dấu \(\Rightarrow a;b;c\) cùng dấu \(\Rightarrow ab>0\)
Nhân vế với vế của (1) và (2): \(a.b.f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\) \(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;b\right)\)
- Nếu \(a,\) c trái dấu \(\Rightarrow ac< 0\) nhân vế với vế của (1) và (3):
\(ac.f\left(a\right).f\left(c\right)>0\Rightarrow f\left(a\right).f\left(c\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;c\right)\)
Vậy pt đã cho luôn luôn có nghiệm
nhở a,b,c<0 s pn ! lm lại nhé