cho g là trọng tâm của tam giác abc vẽ các tia gc gy gz sao cho gx vuông góc bc gy vuông góc ac gz vuông góc ab trên các tia gx gy gz lần lượt lấy các điểm d e f sao cho gd=bc ge=ac gf=ab chung minh g là trọng tâm của tam giác def
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\Delta\)ABC đều, D\(\in\)AB, DE\(\perp\)AB, E\(\in\)BC
=> \(\Delta\)BDE có các góc với số đo lần lượt là: 300; 600; 900 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE.
Xét \(\Delta\)BDE và \(\Delta\)CEF: ^BDE=^CEF=900; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> \(\Delta\)BDE=\(\Delta\)CEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét \(\Delta\)BDE và \(\Delta\)AFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600; BD=AF => \(\Delta\)BDE=\(\Delta\)AFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900 =>DF\(\perp\)AC (đpcm).
b) Ta có: \(\Delta\)BDE=\(\Delta\)CEF=\(\Delta\)AFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> \(\Delta\)DEF đều (đpcm).
c) \(\Delta\)DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200 (Kề bù)
=> \(\Delta\)PDM=\(\Delta\)MFN=\(\Delta\)NEP (c.g.c) => PM=MN=NP => \(\Delta\)MNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của \(\Delta\)ABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm \(\Delta\)ABC (1)
Do \(\Delta\)ABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: \(\Delta\)OAF; \(\Delta\)OBD và \(\Delta\)OCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE => \(\Delta\)OAF=\(\Delta\)OBD=\(\Delta\)OCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực \(\Delta\)DEF hay O là trọng tâm \(\Delta\)DEF (2)
(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: \(\Delta\)ODP; \(\Delta\)OEN; \(\Delta\)OFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM => \(\Delta\)ODP=\(\Delta\)OEN=\(\Delta\)OFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của \(\Delta\)MNP
hay O là trọng tâm \(\Delta\)MNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => \(\Delta\)ABC; \(\Delta\)DEF và \(\Delta\)MNP có chung trọng tâm (đpcm).
Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300 ; 600 ; 900
=> BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE
=> AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE.
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900 ; BD=CE; ^DBE=^ECF=600 => ΔBDE=ΔCEF (g.c.g)
=> BE=CF
=> BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600 ; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c) => ^BDE=^AFD=900 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt)
=> DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt)
=> DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP
=> DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600
=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của ΔABC, chúng cắt nhau tại O
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác
=> ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
=> OA=OB=OC
Xét 3 tam giác:
ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE: AF=BD=CE ^OAF=^OBD=^OCE
=> ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c) OA=OB=OC => OF=OD=OE
=> O là giao 3 đường trung trực Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đều) Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
=> ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM: OD=OE=OF ^ODP=^OEN=^OFM
=> ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c) OD=OE=OF (Tự c/m) => OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng)
=> O là giao 3 đường trung trực của ΔMNP hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).