Question

[Incognito]

Cho tam giác ABC vuông đỉnh A, đường cao AH. Trên đoạn AH lấy điểm M bất kì, trên MC lấy K sao cho BA=BK, trên MB lấy L sao cho CA=CL. Hai đoạn BK,CL cắt nhau tại I. Đường tròn (HBL) cắt (HCK) tại T khác H. Chứng minh 3 điểm H,I,T thẳng hàng ?

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Gọi đường thẳng IH cắt đường tròn (HBL) tại T'. Ta sẽ chứng minh T' trùng T.

Thật vậy: Kẻ tia tiếp tuyến tại K của đường tròn (B;BA) cắt HA tại S. Khi đó: ^BKS = ^BHS = 90⁰

Suy ra tứ giác BSKH nội tiếp, do đó ^BSH = ^BKH.

Theo hệ thức lượng tam giác vuông, ta có: BA² = BH.BC hay BK² = BH.BC nên \(\Delta\)BHK ~ \(\Delta\)BKC (c.g.c)

Suy ra: ^BKH = ^BCK. Từ đó: ^BSH = ^BCK cho nên CK vuông góc BS (vì ^BSH + ^SBH = 90⁰)

Gọi CK cắt BS tại R thì CR vuông góc BS. Tương tự có BQ vuông góc CS

Mà CR cắt BQ tại M nên M chính là trực tâm trong \(\Delta\)BCS => SM vuông góc BC

Do M cũng nằm trên AH vuông góc BC nên S,M,H thẳng hàng.

Đồng thời ^CBQ = ^CSH. Lại có \(\Delta\)CLH ~ \(\Delta\)CBL (c.g.c) nên ^CLH = ^CBL.

Từ đó: ^CSH = ^CLH dẫn tới tứ giác CHLS nội tiếp. Suy ra: ^CLS = ^CHS = 90⁰

Với hệ thức lượng tam giác vuông, ta có các đẳng thức về cạnh: 

SK² = SR.SB = SQ.SC = SL² vậy thì SK = SL. Kết hợp ^SKI = ^SLI = 90⁰ ta được \(\Delta\)SIK = \(\Delta\)SIL (Ch.cgv)

Do đó: IK = IL. Từ ^CLH = ^CBL (cmt) ta thấy CL là tiếp tuyến từ C đến (HBL) kéo theo IL² = IH.IT'

Mà IL = IK nên IK² = IH.IT'. Từ đó: \(\Delta\)IKH ~ \(\Delta\)IT'K (c.g.c) nên ^IKH = ^IT'K

Ta lại có: ^BKH = ^BCK (cmt) suy ra ^IKH = ^HCK. Vậy nên ^HT'K = ^HCK

Như vậy: Tứ giác HT'CK nội tiếp hay T' thuộc vào đường tròn (HCK). Mà (HBL) cắt (HCK) ở T khác H nên T' trùng T.

Vậy 3 điểm H,I,T thẳng hàng (đpcm).