Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức (1+a)(1+b)=9/4
Hãy tìm GTNN
P=\(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 11 2016
Ta có : \(\frac{9}{4}=\left(1+a\right)\left(1+b\right)\le\frac{1}{4}\left(a+b+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)^2\ge9\Leftrightarrow a+b+2\ge3\Leftrightarrow a+b\ge1\)
Áp dụng BĐT Mincopxki , ta có : \(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\ge\sqrt{\left(1^2+1^2\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\sqrt{4+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^4}\ge\sqrt{\frac{17}{4}}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy minP = \(\frac{\sqrt{17}}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
TN
3 tháng 11 2016
\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow1+a+b+ab=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a+b+ab=\frac{5}{4}\)
Áp dụng Bđt Cô si ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\ge2a;2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge2b\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2\right)+1\ge2\left(a+b+ab\right)=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta cũng có:
\(P\ge\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Dấu = khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
NV
2
28 tháng 4 2020
Ta có : \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow a+b+ab=\frac{5}{4}\)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :
\(a^2+b^2\ge2ab\); \(2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\ge2a\); \(2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge2b\)
cộng 3 vế theo vế, ta được :
\(3\left(a^2+b^2\right)+1\ge2\left(a+b+ab\right)=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT Min-cốp-ski,ta có :
\(P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}=\sqrt{1^2+\left(a^2\right)^2}+\sqrt{1^2+\left(b^2\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\sqrt{4+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Vậy GTNN của P là \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) khi a = b = \(\frac{1}{2}\)
28 tháng 4 2020
Bài gốc của nó đây Câu hỏi của Incursion_03 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath(ko hiện link thì vô tcn)
Anh Incursion đặt ẩn phụ là nguyên bài này (chuyen Hưng Yên)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 3 2022
\(6a+3b+2c=abc\Leftrightarrow\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{ac}+\dfrac{6}{bc}=1\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{2}{b};\dfrac{3}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
\(Q=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}}+\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{4}{y^2}+4}}+\dfrac{3}{\sqrt{\dfrac{9}{z^2}+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{z}{\sqrt{z^2+1}}\)
\(Q=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+xy+yz+zx}}+\dfrac{z}{\sqrt{z^2+xy+yz+zx}}\)
\(Q=\dfrac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(Q\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{y+z}\right)=\dfrac{3}{2}\)
\(Q_{max}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(\sqrt{3};2\sqrt{3};3\sqrt{3}\right)\)
2 tháng 2 2022
Ta đặt:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=a-1\\y=b-2\\z=c-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+y+z=3\) và \(x,y,z\ge0\) (*)
Biểu thứ P trở thành:
\(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Từ (*) dễ thấy:
\(\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le3\\0\le y\le3\\0\le z\le3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le\sqrt{3x}\\0\le y\le\sqrt{3y}\\0\le z\le\sqrt{3z}\end{matrix}\right.\)
Do đó:
\(P\ge\dfrac{x+y+z}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Dầu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(3;0;0\right)=\left(0;3;0\right)=\left(0;0;3\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 2 2022
\(P=1\sqrt{a-1}+1\sqrt{b-2}+1\sqrt{c-3}\le\dfrac{1}{2}\left(1+a-1+1+b-2+1+c-3\right)=3\)
\(P_{max}=3\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;3;4\right)\)
\(P^2=a+b+c-6+2\left(\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-2\right)}+\sqrt{\left(a-1\right)\left(c-3\right)}+\sqrt{\left(b-2\right)\left(c-3\right)}\right)\)
\(P^2\ge a+b+c-6=3\)
\(P\ge\sqrt{3}\)
\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;6\right);\left(1;5;3\right);\left(4;2;3\right)\)
TD
1 tháng 2 2022
thầy giải thích thêm phần dấu bằng xảy ra của phần tìm giá trị nhỏ nhất được không ạ
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 11 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\text{VT}=\sqrt{ab+c(a+b+c)}+\sqrt{bc+a(a+b+c)}+\sqrt{ca+b(a+b+c)}$
$=\sqrt{(c+a)(c+b)}+\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+a)(b+c)}$
$\leq \frac{c+a+c+b}{2}+\frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+a+b+c}{2}$
$=2(a+b+c)=2$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Mincopxki: \(P=\sqrt{\left(a^2\right)^2+1^2}+\sqrt{\left(b^2\right)^2+1^2}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+\left(1+1\right)^2}\)
Xét \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)
\(a+b=\left(a+1\right)+\left(b+1\right)-2\ge2\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}-2=2.\frac{3}{2}-2=1\)
Thế số vô nhé.
Đẳng thức xảy ra khi a=b=1/2
Mình không hiểu bđt đầu tiên