Cho hai số dương a,b thỏa mãn \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=2\) . Cmr \(a+b\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
1 tháng 2 2019
\(\frac{1}{a^2}=\frac{1}{\left(bc\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+1=\frac{1}{\left(bc\right)^2}+1\ge2\frac{1}{bc}=2a\)
HF
3 tháng 8 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}+2=\frac{a+b-1}{ab}+2\)
\(\frac{2\left(a+b-1\right)}{\left(a+b\right)^2-1}+2=\frac{2}{a+b+1}+2\ge\frac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+1}+2=\frac{2}{\sqrt{2}+1}+2=2\sqrt{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
T
3 tháng 8 2020
Đặt \(a=\frac{x^2}{z},b=\frac{y^2}{z}\rightarrow x^4+y^4=z^2\) where x, y, z> 0
\(z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)-\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2\ge2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^4+y^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\ge2\sqrt{2}+\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) *Đúng*
21 tháng 2 2019
\(VT=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\frac{bc+2a^2}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{ca+2b^2}{c^2+ca+a^2}}\)
\(=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+ab+b^2\right)\left(ab+2c^2\right)}}+\frac{bc+2a^2}{\sqrt{\left(b^2+bc+c^2\right)\left(bc+2a^2\right)}}+\frac{ca+2b^2}{\sqrt{\left(c^2+ca+a^2\right)\left(ca+2b^2\right)}}\)
\(\ge\frac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2c^2+2ab}+\frac{2\left(bc+2a^2\right)}{2a^2+b^2+c^2+2bc}+\frac{2\left(ca+2b^2\right)}{a^2+2b^2+c^2+2ca}\)
\(\ge\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{bc+2a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ca+2b^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=2+ab+bc+ca=VP\) (Do a2 + b2 + c2 = 1) => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
12 tháng 11 2020
chăc là .............................. điền đi sẽ biếc a you ok ?
26 tháng 5 2019
\(P=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\)
\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)}}\)
\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Ta có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=1\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Tương tự:\(b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(P\ge1+\frac{8abc}{8abc}=2\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
:))
CV
26 tháng 5 2019
ở phần cô si phần cuối là bn sai r
vì >= nhưng ở dưới mẫu nên bị đảo lại thành =< nên bn lm như thế k đúng
đay là link giải https://diendan.hocmai.vn/threads/bdt-a-2-b-2-c-2-dfrac-8abc-a-b-b-c-c-a-geq-2.341255/
VL
0
T
26 tháng 5 2020
Đặt \(a=\frac{x^2}{z},\text{ }b=\frac{y^2}{z}\) thì \(z=\sqrt{x^4+y^4}\) và x, y, z > 0
Ta cần chứng minh: \(z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)-\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2\ge2\sqrt{2}\)
Tương đương: \(\sqrt{x^4+y^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\ge\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+2\sqrt{2}\)
Sau cùng ta cần chứng minh: \(\frac{2\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge0\)
Xong.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky cho $a,b$ dương:
\(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)(1+1)\geq \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b)\geq (1+1)^2=4\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\)
Do đó:
\(4=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right).2\geq \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\geq \left(\frac{4}{a+b}\right)^2\)
\(\Rightarrow 4(a+b)^2\geq 16\Rightarrow (a+b)^2\geq 4\Rightarrow a+b\geq 2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$