Cho \(a,b,c>0\). CM: \(\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2+2c^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2+2a^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2+2b^2}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
9 tháng 6 2020
Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa a + b + c = 1
Khi đó, ta cần chứng minh: \(\frac{\left(a+1\right)^2}{2a^2+\left(1-a\right)^2}+\frac{\left(b+1\right)^2}{2b^2+\left(1-b\right)^2}+\frac{\left(c+1\right)^2}{2c^2+\left(1-c\right)^2}\le8\)
Xét bất đẳng thức phụ: \(\frac{\left(x+1\right)^2}{2x^2+\left(1-x\right)^2}\le4x+\frac{4}{3}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-1\right)^2\left(4x+1\right)}{2x^2+\left(1-x\right)^2}\ge0\)*đúng*
Áp dụng, ta được: \(\frac{\left(a+1\right)^2}{2a^2+\left(1-a\right)^2}+\frac{\left(b+1\right)^2}{2b^2+\left(1-b\right)^2}+\frac{\left(c+1\right)^2}{2c^2+\left(1-c\right)^2}\)\(\le4\left(a+b+c\right)+4=4.1+4=8\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
25 tháng 7 2019
Chuẩn hóa ta có : \(a+b+c=3\)
=> \(\frac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}=\frac{\left(a+3\right)^2}{2a^2+\left(3-a\right)^2}=\frac{a^2+6a+9}{3\left(a^2-2a+3\right)}\)
Xét\(\frac{a^2+6a+9}{3\left(a^2-2a+3\right)}\le\frac{4}{3}a+\frac{4}{3}\)
<=> \(a^2+6a+9\le4\left(a+1\right)\left(a^2-2a+3\right)\)
<=> \(4a^3-5a^2-2a+3\ge0\)
<=> \(\left(a-1\right)^2\left(4a+3\right)\ge0\)luôn đúng
Khi đó
\(VT\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)+4=\frac{4}{3}.3+4=8\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)
\(=[a(a+b+c)]^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
úy tình
15 tháng 5 2018
Mình nhầm, phải là \(\le\frac{1}{3}\)mọi người làm giúp mình với mình cần gấp
1 tháng 8 2020
Theo BĐT Cauchy Schwarz và các biến đổi cơ bản ta dễ có được:
\(\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\frac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}=\frac{1}{9}\left[\frac{\left(2a+a\right)^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\right]\)
\(\le\frac{1}{9}\left[\frac{4a^2}{2a\left(a+b+c\right)}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right]=\frac{1}{9}\left(\frac{2a}{a+b+c}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{1}{9}\left(2+\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)
Tiếp tục theo BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel:
\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ca}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Ta thực hiện phép đổi biến thì:
\(\frac{ab}{ab+2c^2}+\frac{bc}{bc+2a^2}+\frac{ca}{ca+2b^2}\ge1\)
Đến đây là phần của bạn
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
25 tháng 10
Câu hỏi này không phù hợp với lớp 2 các em nhé. Khi đăng câu hỏi thfi các em cần đăng đúng với khối lớp để được hỗ trợ tốt nhất.
VT
21 tháng 10 2019
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
N
13 tháng 8 2019
:( Đại Ka ơi a up câu nào khó hơn đi :( :v
Solution:
Vế trái có tính thuần nhất theo 3 biến nên ta chuẩn hóa a+b+c=3.
Điểm rơi: a=b=c=1.
Khi đó:
\(A=Sigma\frac{\left(3+a\right)^2}{2a^2+\left(3-a\right)^2}\)(em ko biết kí hiệu tổng sigma ạ :v)
\(3A\Rightarrow Sigma\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\)
UCT :v
Ta cần tìm m và n sao cho
\(\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\le ma+n\) (Luôn đúng với 0<a<3)
Với điểm rơi a=1 ta có m+n=8 => n=8-m.
Ta tìm m sao cho: \(\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\le m\left(a-1\right)+8\) (luôn đúng với 0<a<3).
Đến đây giải ra ta tìm được m=4 và n=4
Ta dễ dàng cm được: \(\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\le4\left(a+1\right)\)(với o<a<3) ( cái này chứng minh tương đg) :v
Suy ra \(3A=Sigma\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\le4\left(a+b+c\right)=24\)
=> a<=8
Max A=8 <=> a=b=c=1
UCT => ez nha anh :)
\(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2+2c^2}\)
\(\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\ge\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2+2a^2}\)
\(\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\ge\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2+2b^2}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a^2+c^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1+1+1=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Ta có \(\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2+2c^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+c^2+b^2+c^2}\le\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2+2a^2}\le\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\) ; \(\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2+2b^2}\le\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2+2c^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2+2a^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2+2b^2}\le\frac{a^2+c^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
//Bạn chép đề sai, vế phải là số 3 chứ ko phải 1