Cho x>0, y>0. Chứng minh: (x+y).\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\) \(\ge\) 4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DH
1
3 tháng 9 2022
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{1}{x+y}:\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2>=0\)(luôn đúng)
NT
5
19 tháng 3 2017
PP : biến đổi tương đương
Bài làm
Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+x\right)}{xy\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)xy}\)
Vì x , y >0 , ta suy ra (x+y)2 \(\ge\)4xy
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
Hay (x-y)2 \(\ge\)0 ( điều này luôn đúng )
Vậy..........
9 tháng 7 2022
Bài 1:
a: \(A=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}\)
\(=\dfrac{x+2\sqrt{xy}+y-x-\sqrt{xy}-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}\)
\(=\dfrac{\sqrt{xy}}{x-\sqrt{xy}+y}\)
b: \(\sqrt{xy}>=0;x-\sqrt{xy}+y>0\)
Do đó: A>=0
TT
3
2 tháng 3 2018
\(\left\{{}\begin{matrix}x;y>0\\x+y=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow0< xy=t\le\dfrac{1}{4}\)
\(x^4+y^4=\left(1-2t\right)^2-2t\)
\(8\left(x^4+y^4\right)+\dfrac{1}{xy}\ge5\Leftrightarrow A=8\left[\left(1-2t\right)^2-2t\right]+\dfrac{1}{t}-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow16t^2-32t+\dfrac{1}{t}+3\ge0\)\(\Leftrightarrow16t^3-32t^2+3t+1\ge0\)
<=>\(16t^3-4t^2-28t^2+7t-4t+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow4t^2\left(4t-1\right)-7t\left(4t-1\right)-\left(4t-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(4t-1\right)\left(4t^2-7t-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow B=\left(4t-1\right)\left(8t-7-\sqrt{65}\right)\left(8t-7+\sqrt{65}\right)\ge0\)
\(0< t\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}4t-1\le0\\8t-7+\sqrt{65}>0\\8t-7-\sqrt{5}< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\ge0\)
mọi phép biến đổi <=> => dpcm
UK
3 tháng 3 2018
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz nhiều lần, cộng với BĐT phụ \(\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\), ta có:
\(8\left(x^4+y^4\right)+\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{8\left(x^2+y^2\right)^2}{2}+\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\left(x^2+y^2\right)^2+4\ge4\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2+4=5\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 12 2018
\(VT=\dfrac{\left(\dfrac{1}{z}\right)^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{y}\right)^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}{2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Dâu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Lời giải:
Xét hiệu \((x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)-4=\left(1+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)-4\)
\(=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^2+y^2}{xy}-2=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy}\geq 0, \forall x,y>0\)
Do đó \((x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\geq 4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \((x-y)^2=0\Leftrightarrow x=y\)