+ Incursion_03: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), D là điểm trên cung BC không chứa A. Dựng hình bình hành ADCE. Gọi H,K là trực tâm của tam giác ABC,ACE. P,Q là hình chiếu vuông góc của K lên các đường thẳng BC,AB và I là giao EK,AC.
CMR: a) P,I,Q thẳng hàng ? b) Đường thẳng PQ đi qua trung điểm HK ?
Lời giải: Hình vẽ:
a) Do \(\Delta\)ACE nhận K làm trực tâm nên ^AKC + ^AEC = 1800 => ^AKC + ^ADC = 1800
=> Tứ giác AKCD nội tiếp => K nằm trên (O).
Khi đó dễ thấy P,I,Q là 3 điểm nằm trên đường thẳng Simson của K đối với \(\Delta\)ABC => ĐPCM.
b) Gọi AH và CH giao (O) lần thứ hai ở G,F. Dựng M,N đối xứng với K qua AB,BC
Dễ có: G đối xứng H qua BC, F đối xứng H qua AB => Các tứ giác KHGN và KHFM là hình thang cân
=> ^FHM = ^HFK = ^CFK (T/c đối xứng). Tương tự: ^GHN = ^HGK = ^AGK
Do đó: ^FHM + ^GHN = ^CFK + ^AGK = 1/2.Sđ(AC = ^ABC = 1800 - ^FHG => M,H,N thẳng hàng
Ta có: PQ là đường trung bình tam giác KMN (PQ // MN), điểm H thuộc cạnh MN
=> PQ đi qua trung điểm cạnh HK (đpcm).
Day la duong thang Simson ma , con cau b dung duong thang Steiner la ra