Giải phương trìn nghiệm nguyên : \(6X^2+2Y^2=73X\). Với X = a+b, y=a-b và (a,b)=1
Ai giúp minh với
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ML
10 tháng 8 2016
2
\(pt\Leftrightarrow x^2\left(1-y^2\right)+y.x+y^2=0\text{ (1)}\)
+Xét trường hợp \(1-y^2=0\Leftrightarrow y=\pm1\)
\(y=1\text{ thì }pt\rightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)
\(y=-1\text{ thì }pt\rightarrow-x+1=0\Leftrightarrow x=1\)
+Xét \(y=0\)\(pt\rightarrow x=0\)
+Xét \(y\ne0;-1;1\Rightarrow\left|y\right|\ge2\Rightarrow y^2-1\ge3\)
\(pt\Leftrightarrow x^2\left(1-y^2\right)+y.x+y^2=0\text{ (1)}\)
\(\Delta\text{ (}x\text{) }=y^2-4\left(1-y^2\right)y^2=y^2\left(4y^2-3\right)\)
Để phương trình (1) có nghiệm x là một số nguyên thì \(\Delta\)phải là bình phương của một số hữu tỉ.
Khi đó, (1) có nghiệm \(x=\frac{-y\pm\sqrt{y^2\left(4y^2-3\right)}}{1-y^2}=\frac{-y\pm y\sqrt{4y^2-3}}{1-y^2}\)
Ta thấy ngay: \(\hept{\begin{cases}-y\in Z\\1-y^2\in Z\\1-y^2\le-3\end{cases}}\)nên nếu \(\sqrt{4y^2-3}\notin Z\) thì \(x\notin Z\)
Vậy ta cần \(\sqrt{4y^2-3}\in Z\Leftrightarrow4y^2-3=k^2\text{ }\left(k\in Z\text{+}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2y+k\right)\left(2y-k\right)=3\)
Do \(k>0\) nên \(2y+k>2y-k\) và hai số trên đều nguyên nên xảy ra các trường hợp
\(\hept{\begin{cases}2y+k=3\\2y-k=1\end{cases}\text{ hoặc }\hept{\begin{cases}2y-k=-3\\2y+k=-1\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\k=1\end{cases}}\text{ hoặc }\hept{\begin{cases}y=-1\\k=1\end{cases}}\)
Loại hết vì đang xét \(\left|y\right|\ge2\)
Vậy các nghiệm nguyên của hệ là \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right);\text{ }\left(-1;1\right);\text{ }\left(1;-1\right)\)
PN
10 tháng 8 2016
\(1.\) Cho \(a+b+c=1\) với \(a,b,c>0\)
Chứng minh rằng: \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6}\left(1\right)\)
\(--------\)
\(\left(1\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}\le\sqrt{6}\left(2\right)\)
Ta cần chứng minh bđt \(\left(2\right)\) luôn đúng với mọi số thực \(a,b,c>0\)
Thật vậy, áp dụng bđt Cauchy cho hai số dương, ta được:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{2}{3}\left(1-a\right)}\le\frac{1-a+\frac{2}{3}}{2}=\frac{5-3a}{6}\\\sqrt{\frac{2}{3}\left(1-b\right)}\le\frac{5-3b}{6}\\\sqrt{\frac{2}{3}\left(1-c\right)}\le\frac{5-3c}{6}\end{cases}}\)
Do đó, \(\sqrt{\frac{2}{3}}\left(\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}\right)\le\frac{15-3\left(a+b+c\right)}{6}=\frac{15-3.1}{6}=2\)
hay nói cách khác, \(\sqrt{\frac{2}{3}}VT\left(2\right)\le2\)
\(\Rightarrow\) \(VT\left(2\right)\le\sqrt{\frac{3}{2}}.2=\sqrt{6}=VP\left(2\right)\)
Vậy, bđt \(\left(2\right)\) được chứng minh nên kéo theo bđt \(\left(1\right)\) luôn đúng với mọi \(a,b,c>0\)
Đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
19 tháng 7 2021
a) \(2xy-y^2-6x+4y=7\)
\(\Leftrightarrow2xy-6x-y^2+3y+y-3=4\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y+1\right)\left(y-3\right)=4\)
Tới đây bạn xét bảng giá trị thu được nghiệm \(\left(x,y\right)\).
b) \(x^2+y^2-x⋮xy\Rightarrow x^2+y^2-x⋮x\Rightarrow y^2⋮x\).
Đặt \(y^2=kx,\left(k\inℤ\right),d=\left(x,k\right)\).
\(x^2+\left(kx\right)^2-x⋮xy\Rightarrow x+k^2x-1⋮y\).
suy ra \(x+k^2x-1⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\).
Do đó \(kx=y^2\)mà \(\left(k,x\right)=1\)nên \(x\)là số chính phương.
5 tháng 10 2021
a, TK:
(x lẻ do \(2y^2-8y+3=2\left(y^2-4y\right)+3=x^2\) lẻ)
\(b,\Leftrightarrow\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2+4y+4\right)=9\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y+2\right)^2=9\)
Vậy pt vô nghiệm do 9 ko phải tổng 2 số chính phương
27 tháng 11 2021
\(\left(1+x\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1+x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+x}=1\)
\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+x\)
\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+1}-x=0\)
\(\Rightarrow-\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\sqrt{x^2+1}=0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\\sqrt{x^2+1}-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\sqrt{x^2+1}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+1=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\end{matrix}\right.\)
27 tháng 11 2021
\(a,2y^2-x+2xy=y+4\\ \Leftrightarrow2y\left(x+y\right)-\left(x+y\right)=4\\ \Leftrightarrow\left(2y-1\right)\left(x+y\right)=4=4\cdot1=\left(-4\right)\left(-1\right)=\left(-2\right)\left(-2\right)=2\cdot2\)
Vì \(x,y\in Z\Leftrightarrow2y-1\) lẻ
\(\left\{{}\begin{matrix}2y-1=1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-1=-1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)
Vậy PT có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;1\right);\left(4;0\right)\right\}\)
T
31 tháng 10 2018
a) \(2x+13y=156\) (1)
.Ta thấy 156 và 2y đều chia hết cho 2 nên \(13y\) chia hết cho 2,do đó y chia hết cho 2 (do 13 và 2 nguyên tố cùng nhau)
Đặt \(y=2t\left(t\in Z\right)\).Thay vào phương trình (1),ta được:\(2x+13.2t=156\Leftrightarrow x+13t=78\)
Do đó \(\hept{\begin{cases}x=78-13t\\y=2t\end{cases}}\) (t là số nguyên tùy ý)
b)Biến đổi phương trình thành: \(2xy-4x=7-y\)
\(=2x\left(y-2\right)=7-y\).Ta thấy \(y\ne2\)(vì nếu y = 2 thì ta có 0.2x = 5 , vô ngiệm )
Do đó \(x=\frac{7-y}{y-2}=\frac{7+2-y-2}{y-2}=\frac{9}{y-2}-1\) .Do vậy để x nguyên thì \(\frac{9}{y-2}\) nguyên
hay \(y-2\inƯ\left(9\right)=\left\{\pm1;\pm3;\pm9\right\}\).Đến đây lập bảng tìm y là xong!
T
31 tháng 10 2018
c) \(3xy+x-y=1\)
\(\Leftrightarrow9xy+3x-3y=3\)
\(\Leftrightarrow9xy+3x-3y-1=2\)
\(\Leftrightarrow3x\left(3y+1\right)-1\left(3y+1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(3y+1\right)=2\).Đến đây phương trình đã được đưa về phương trình ước số,bạn tự giải (mình lười quá man!)
15 tháng 1 2021
a, Thay a = 3 hệ phương trình là :
\(\hept{\begin{cases}x+y=1\\3x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1-y\left(1\right)\\3x+2y=3\left(2\right)\end{cases}}}\)
Thay (1) vào (2) suy ra :
\(3\left(1-y\right)+2y=3\Leftrightarrow3-3y+2y=3\)
\(\Leftrightarrow5y=0\Leftrightarrow y=0\)thế lại vào (1) ta được :
\(x=1-y=1-0=1\)
15 tháng 1 2021
\(\hept{\begin{cases}x+y=1\\ax+2y=a\end{cases}}\)
a) Với a = 3
hpt ⇔ \(\hept{\begin{cases}x+y=1\left(1\right)\\3x+2y=3\left(2\right)\end{cases}}\)
Nhân 2 vào từng vế của (1)
hpt ⇔ \(\hept{\begin{cases}2x+2y=2\left(3\right)\\3x+2y=3\end{cases}}\)
Lấy (3) - (2) theo vế
⇒ -x = -1 ⇒ x = 1
Thế x = 1 vào (1)
⇒ 1 + y = 1 ⇒ y = 0
Vậy \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)
\(6X^2+2Y^2=73X\)
\(2\left(3X^2+Y^2\right)=73X\)
\(\Rightarrow X=2k\Rightarrow a+b=2k\Rightarrow a-b=2k-2b\)
\(\Rightarrow6\left(2k\right)^2+2\left(2k-2b\right)^2=73.2k\)
\(\Rightarrow24k^2+8k^2-16\left(k-b\right)+8b^2=73.2k\)
Do 73.2.k không chia hết cho 8
Mà VT chia hết cho 8
=> Pt vô nghiệm
nếu k=4 tì 73*2*k cia hết cho 8