Question

[Hoàng Thị Hải Yến]

Chứng minh rằng C= \(0,7.\left(83^{83}-37^{37}\right)\) là 1 số nguyên

Answer 1

[【Mai Phương】]

- Theo bài ra, ta có: \(C=0,7.\left(83^{83}-37^{37}\right)\)

\(\Rightarrow C=\frac{7}{10}.\left(83^{83}-37^{37}\right)\)

\(\Rightarrow C=\frac{7\left(83^{83}-37^{37}\right)}{10}\)

- Ta có: \(+)83^{83}=83^{80}.83^3=\left(83^4\right)^{20}.83^3=(\overline{...1})^{20}.\overline{...7}=\overline{...1}.\overline{...7}=\overline{...7}\)

\(+)37^{37}=37^{36}.37=\left(37^4\right)^9.37=\left(\overline{...1}\right)^9.37=\overline{...1}.37=\overline{...7}\)

Suy ra \(83^{83}-37^{37}=\overline{...7}-\overline{...7}=\overline{...0}⋮10\)

\(\Rightarrow7\left(83^{83}-37^{37}\right)⋮10\)

\(\Rightarrow\frac{7\left(83^{83}-37^{37}\right)}{10}\in Z\)

hay \(C\in Z\)

Vậy \(C=0,7.\left(83^{83}-37^{37}\right)\) là 1 số nguyên.

Answer 2

[Tiêu Nguyễn Việt Anh]

Ta có:C=\(0,7.\left(83^{83}-37^{37}\right)=\frac{7}{10}.\left(83^{83}-37^{37}\right)\)

                                                      \(=\frac{7.\left(83^{83}-37^{37}\right)}{10}\)  

                  Đặt \(M=83^{83}-37^{37}\)

                            Ta lại có:\(83^{83}=83^{80}.83^3=\left(83^4\right)^{20}.\left(...7\right)=\left(...1\right)^{20}.\left(...7\right)=\left(...1\right).\left(...7\right)=\left(...7\right)\)

                                          \(37^{37}=37^{36}.37=\left(37^4\right)^9.37=\left(...1\right)^9.37=\left(...1\right).37=\left(...7\right)\)

                        Thay vào M,ta được:\(M=\left(...7\right)-\left(...7\right)=\left(...0\right)⋮10\)

                                                               \(\Rightarrow7.\left(83^{83}-37^{37}\right)⋮10\)

                                                               \(\Rightarrow\frac{7.\left(83^{83}-37^{37}\right)}{10}⋮10\)

                                                               \(\Rightarrow C⋮10\)

                                                               \(\Rightarrow C=0,7.\left(83^{83}-37^{37}\right)\) là 1 số nguyên.