Cho a + b + c = 0 \(\left(a\ne0,b\ne0,c\ne0\right)\). Rút gọn biểu thức:
\(B=\dfrac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\dfrac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\dfrac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ giả thiết ta có:
\(a+b+c=0\Rightarrow b+c=-a\Rightarrow\left(b+c\right)^2=a^2\)
\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2=a^2\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)
Tương tự:
\(b^2-c^2-a^2=2ca,c^2-a^2-b^2=2ab\)
Từ đây suy ra:
\(A=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{ab}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
Mặt khác lại có:
\(a+b+c=0\Rightarrow b+c=-a\Rightarrow\left(b+c\right)^3=-a^3\)
\(\Rightarrow b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)=-a^3\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-3bc\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)
Lời giải:
Đặt $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=t$
$\Rightarrow x=at; y=bt; z=ct$. Ta có:
$(x+y+z)^2=(at+bt+ct)^2=t^2(a+b+c)^2=t^2(*)$
Mặt khác:
$x^2+y^2+z^2=(at)^2+(bt)^2+(ct)^2=t^2(a^2+b^2+c^2)=t^2(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$ (đpcm)
\(a+b+c=0\)
\(a+b=-c\)
\(\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3\)
\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=-c^3\)
\(a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)
\(a^3+b^3+c^3=-3ab\left(-c\right)\)
\(a^3+b^3+c^3=3abc\left(1\right)\)
\(P=\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ac}+\dfrac{c^2}{ab}\)
\(P=\dfrac{a^3}{abc}+\dfrac{b^3}{abc}+\dfrac{c^3}{abc}\)
\(P=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}\)
Thay (1) vào P ta được :
\(P=\dfrac{3abc}{abc}=3\)
Vậy.......
Đặt \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=k\) \(\left(k\ne0\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=a.k\\y=b.k\\z=c.k\end{matrix}\right.\)
Ta có :
\(A=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ax+by+cz\right)^2}\)
\(A=\dfrac{\left[\left(a.k\right)^2+\left(b.k\right)^2+\left(c.k\right)^2\right]\cdot\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a.a.k+b.b.k+c.c.k\right)^2}\)
\(A=\dfrac{\left(a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2\right)\cdot\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a^2k+b^2k+c^2k\right)^2}\)
\(A=1\)
Lưu ý: Ko buff bẩn + ko spam + ko copy + ko nhận những câu trả lời chứa link tới các web khác + phải có lời giải thích đàng hoàng + vv
Đặt: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow a=bk,c=dk\)
Ta có VT:
\(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{\left(bk-b\right)^2}{\left(dk-d\right)^2}\)
\(=\dfrac{b^2\left(k-1\right)^2}{d^2\left(k-1\right)^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\) (1)
VT: \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk\cdot b}{dk\cdot d}=\dfrac{b^2k}{d^2k}=\dfrac{b^2}{d^2}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{ab}{cd}\left(đpcm\right)\)
Có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow ab=cd\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{c}\right)^2=\left(\dfrac{b}{d}\right)^2=\dfrac{ab}{cd}=\left(\dfrac{a-b}{c-d}\right)^2\)
Vậy...
\(\dfrac{b+c-5}{a}=\dfrac{a+c+2}{b}=\dfrac{a+b+3}{c}=\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c-5=2a\\a+c+2=2b\\a+b+3=2c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=a+5\\a+b+c=b-2\\a+b+c=c-3\end{matrix}\right.\)
Lại có \(\dfrac{1}{a+b+c}=2\Rightarrow a+b+c=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+5=\dfrac{1}{2}\\b-2=\dfrac{1}{2}\\c-3=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Từ đó tự giải ra
Ta có a+b+c=0 => b+c=-a => a^2=b^2+2bc+c^2=> a^2-b^2-c^2=2bc
Tương tự ta có : b^2-c^2-a^2=2ca
c^2-a^2-b^2=2ab
=> a^2/2bc+b^2/2ca+c^2/2ab=(a^3+b^3+c^3)/2abc
=>Ta lại có a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3+
(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)=0+3abc=3abc
=> A=3abc/2abc=3/2