cho tam giác ABC. AB=c, BC=a, AC=b.CMR \(\sin\dfrac{A}{2}<\dfrac{a}{2\sqrt{bc}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MN
1
16 tháng 8 2021
Hình tự vẽ nha
Kẻ phân giác \(AD,BK\perp AD\)
\(\sin\dfrac{A}{2}=\sin BAD\)
xét \(\Delta AKB\) vuông tại K,có:
\(\sin BAD=\dfrac{BK}{AB}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BKD\) vuông tại K,có :
\(BK\le BD\) thay vào (1):
\(\sin BAD\le\dfrac{BD}{AB}\left(2\right)\)
lại có:\(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BD+CD}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow BD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\) thay vào (2)
\(\sin BAD\le\dfrac{\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}}{AB}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
Tick plz
NH
1
22 tháng 1 2022
Không vẽ hình vì sợ duyệt.
Kẻ đường phân giác AD của \(\Delta ABC\).
Dễ thấy \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\widehat{B}=\frac{\widehat{BAC}}{2}\)
Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta ABD\)cân tại D \(\Rightarrow AD=BD\)
\(\Delta CAD\)và \(\Delta CBA\)có:
\(\widehat{C}\)chung và \(\widehat{CAD}=\widehat{B}\left(=\frac{\widehat{BAC}}{2}\right)\)\(\Rightarrow\Delta CAD~\Delta CBA\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AB}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AC^2=BC.CD\\AB.AC=BC.AD=BC.BD\left(AD=BD\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow AC^2+AB.AC=BC.CD+BC.BD\)\(=BC\left(CD+BD\right)\)\(=BC.BC\)\(=BC^2\)
Ta có đpcm.
23 tháng 7 2017
kẻ AH vuông góc với BC
đặt AH = h . xét hai tam giác vuông AHB và AHC , ta có :
sin B = \(\frac{AH}{AB}\), sin C = \(\frac{AH}{AC}\)
do đó \(\frac{sinB}{sinC}=\frac{AH}{AB}\cdot\frac{AC}{AH}=\frac{h}{c}\cdot\frac{b}{h}=\frac{b}{c}\)
suy ra \(\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
tương tự \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\)
vậy suy ra dpcm
23 tháng 7 2017
cái đường thẳng cắt tam giác đó mk không bt nó thừ đâu tới, bạn bỏ cái đấy đi nhá
20 tháng 8 2023
b: \(\dfrac{AB\cdot BC}{2}\cdot sinB\)
\(=\dfrac{AB\cdot BC}{2}\cdot\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\)
\(=S_{ABC}\)
a: Xét ΔABD vuông tại A có tan ABD=AD/AB
Xét ΔCBA có BD là phân giác
nên AD/AB=CD/BC
=>\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{AD+CD}{AB+BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}\)
=>\(tan\left(ABD\right)=\dfrac{AC}{AB+BC}\)
AT
7 tháng 6 2021
a) \(1+tan^2B=1+\dfrac{AC^2}{AB^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2}=\dfrac{1}{cos^2B}\)
b) Ta có: \(a.sinB.cosB=BC.\dfrac{AC}{BC}.\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC.AB}{BC}=\dfrac{AH.BC}{BC}=AH\)
\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=BC.\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2=BC.cos^2B\)
Tương tự \(\Rightarrow CH=BC.sin^2B\)
8 tháng 2 2020
a. Vì \(\Delta ABC\)cân tại A \(\Rightarrow\)AB = AC, góc B = góc C.
Xét \(\Delta ABH\)và \(\Delta ACH\)có :
AB = AC
AH là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\)(cạnh huyền - cạnh góc vuông).
b.Vì \(\Delta ABH=\Delta ACH\)\(\Rightarrow\)góc AHB = góc AHC ( góc tương ứng )
Mà góc AHB +AHC = 180 độ ( kề bù ) => góc AHB = AHC = 90 độ => AH\(\perp\)BC.
c.Xét tam giac HDB và HEC có :
HB = HC ( vì tg ABH = ACH )
góc B = góc C
=> tam giác HDB = HDC ( cạnh huyền - góc nhọn )
=>BD = CE ( cạnh tương ứng )
Vì AB = AC => AD = AE.
Vì tg AHB = AHC => góc A1 = A2 ( góc tương ứng )
Xét tg AFD và AFE có :
AD = AE
Góc A1 = A2
AF là canh chung
=> Tg AFD = AFE ( c-g-c)
=> góc ADF = AEF ( góc tương ứng )
Ta có : góc A + ADF + AEF = góc A + ABC + ACB = 180 độ
=> 2.ADF = 2.ABC => Góc ADF = ABC mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị => DE \(//\)BC.
24 tháng 3 2020
a) Xét \(\Delta BAH\)và \(\Delta CAH\)có:
AH chung
\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(AH là phân giác \(\widehat{BAC}\))
AB=AC (\(\Delta\)ABC cân tại A)
=> \(\Delta BAH=\Delta CAH\left(cgc\right)\)
b) Có AH là phân giác \(\widehat{BAC}\left(gt\right)\), \(\Delta\)ABC cân tại A (gt)
=> AM là đường phân giác trong của tam giác ABC cân tại A
=> AM trung với đường cao và đường trung tuyến
=> AM _|_ BC(đpcm)
d)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(\Leftrightarrow ab\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c}\right)+bc\left(\dfrac{1}{a+c}-\dfrac{1}{a+b}\right)+ca\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\) hay tam giác cân
kẻ phân giác AD, kẻ BK, CH ⊥ AD
Δvuông BAK có sinA=BK/AB
Δvuông CAH có sinA=HC/AC
Mà sinBAK= sinCAH= sin\(\dfrac{A}{2}\)= \(\dfrac{BK}{AB}=\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{BK+HC}{AB+AC}\) (1)
Lại có trong Δvuông BKD và Δvuông DCH có BK<BD,HC<DC(cạnh góc vuông< cạnh huyền)=>BK+HC<BD+DC=BC (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\dfrac{BK+HC}{AB+AC}< \dfrac{BD+DC}{AB+AC}\) hay \(sin\dfrac{A}{2}< \dfrac{a}{b+c}\)
Áp dụng bđt cosi ta có \(b+c\ge2\sqrt{bc}\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+c}\le\dfrac{a}{2\sqrt{bc}}\)
Vậy \(sin\dfrac{A}{2}< \dfrac{a}{2\sqrt{bc}}\)