Question

[Nguyen]

Giải hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x^2}{1+y^2}=y\\\dfrac{2y^2}{1+z^2}=z\\\dfrac{2z^2}{1+x^2}=x\end{matrix}\right.\)

phynit, Akai Haruma

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Từ hệ pt ta suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\\z\ge0\end{matrix}\right.\)

Với \(x=y=z=0\), thay vào hệ ta thấy đúng \(\Rightarrow x=y=z=0\) là một nghiệm của hệ

Với \(x,y,z>0\) ta có:

\(1+y^2\ge2\sqrt{1.y^2}=2y\Rightarrow\dfrac{2x^2}{1+y^2}\le\dfrac{2x^2}{2y}=\dfrac{x^2}{y}\Rightarrow\dfrac{x^2}{y}\ge y\Rightarrow x^2\ge y^2\Rightarrow x\ge y\)

Tương tự: \(\dfrac{2y^2}{1+z^2}\le\dfrac{y^2}{z}\Rightarrow\dfrac{y^2}{z}\ge z\Rightarrow y^2\ge z^2\Rightarrow y\ge z\)

\(\dfrac{2z^2}{1+x^2}\le\dfrac{z^2}{x}\Rightarrow z\ge x\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge y\\y\ge z\\z\ge x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Thế vào pt đầu ta được:

\(\dfrac{2x^2}{1+x^2}=x\Rightarrow2x^2=x+x^3\Rightarrow x\left(x-1\right)^2=0\Rightarrow x=1\)

\(\Rightarrow x=y=z=1\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)