Cho B= \(\dfrac{x^3}{1+y}+\dfrac{y^3}{1+x}\) trong đó x,y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy=1. CMR \(B\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 10 2019
Sao không ai trả lời vậy, mình trả lời vui thôi không chắc đúng nha
\(B=\frac{x^4}{x+xy}+\frac{y^4}{y+xy}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y+2xy}\ge\frac{4x^2y^2}{x+y+2}=\frac{4}{x+y+2}\)
Vì x,y nguyên dương và xy=1 nên\(x,y\le1\Rightarrow B\ge\frac{4}{2+2}=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\leq \left(\frac{x+1+x^2-x+1}{2}\right)^2=\frac{(x^2+2)^2}{4}$
$\Rightarrow \sqrt{x^3+1}\leq \frac{x^2+2}{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq \frac{2}{x^2+2}$. Tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế:
$\sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2\sum \frac{1}{x^2+2}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{x^2+2}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+6}=\frac{9}{12+6}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2.\frac{1}{2}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 4 2021
\(6xy=x+y\ge2\sqrt[]{xy}\Rightarrow\sqrt{xy}\ge\dfrac{1}{3}\Rightarrow xy\ge\dfrac{1}{9}\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\le9\)
\(M=\dfrac{\dfrac{x+1}{xy+1}+\dfrac{xy+x}{1-xy}+1}{1+\dfrac{xy+x}{1-xy}-\dfrac{x+1}{xy+1}}=\dfrac{\dfrac{x+1}{xy+1}+\dfrac{x+1}{1-xy}}{\dfrac{x+1}{1-xy}-\dfrac{x+1}{xy+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{1-xy}+\dfrac{1}{1+xy}}{\dfrac{1}{1-xy}-\dfrac{1}{1+xy}}\)
\(M=\dfrac{1+xy+1-xy}{1+xy-1+xy}=\dfrac{2}{2xy}=\dfrac{1}{xy}\le9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{3}\)
VT
27 tháng 8 2018
Ta có \(B=\frac{x^4}{x+xy}+\frac{y^4}{y+xy}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y+2xy}\ge\frac{\left(x+y\right)^4}{4\left(x+y+2\right)}=\frac{a^4}{4\left(a+2\right)}\)
Ta có \(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\Rightarrow a\ge2\)
Ta cần \(\frac{a^4}{4\left(a+2\right)}\ge1\Leftrightarrow a^4\ge4a+8\Leftrightarrow\frac{1}{2}a^4+\frac{1}{2}a^4\ge4a+8\)
Ta có\(\frac{1}{2}a^4\ge\frac{1}{2}.16=8;a^3\ge8\Rightarrow\frac{1}{2}a^4\ge4a\Rightarrow a^4\ge4a+8\)
=> B>=1
dấu = xảy ra <=> x=y=1
12 tháng 4 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{xy+xz}=\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x\left(y+z\right)\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{4}=4\)=> \(\dfrac{1}{x\left(y+z\right)}\ge\dfrac{1}{4}\)=> \(\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)=> \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge1\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 ; y = z = 1
7 tháng 12 2021
\(xy+yz+xz=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
\(đặt\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+4y+9z}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}}\le\dfrac{1}{\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c}}=\dfrac{1}{36}\left(đpcm\right)\)
DF
1
14 tháng 1 2021
Ta có x + y + z = 1 nên z = 1 - x - y.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{\sqrt{xy+z\left(x+y+z\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge1+\sqrt{xy}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
\(\left(z+x\right)\left(z+y\right)\ge\left(\sqrt{z}.\sqrt{z}+\sqrt{x}.\sqrt{y}\right)^2=\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}=\sqrt{xy}-x-y+1\); (1)
\(\sqrt{2x^2+2y^2}=\sqrt{\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\). (2)
Cộng vế với vế của (1), (2) ta có đpcm.
8 tháng 12 2023
Có \(VT=\dfrac{x^2}{x^3-xyz+2013x}+\dfrac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\dfrac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\right]+2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
(vì \(2013=3.671=3\left(xy+yz+zx\right)\))
\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{x+y+z}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2-yz+2013}=\dfrac{1}{y^2-zx+2013}=\dfrac{1}{z^2-xy+2013}\)
\(\Leftrightarrow x^2-yz=y^2-zx=z^2-xy\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\) (với \(x,y,z>0\))
Vậy ta có đpcm.
chị @Akai Haruma giúp e bài này đc k ạ
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+1}.\frac{y+1}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}x\)
\(\frac{y^3}{x+1}+\frac{x+1}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{y^3}{x+1}.\frac{x+1}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}y\)
Cộng theo vế ta thu được:
\(B+\frac{x+y}{4}+\frac{3}{2}\geq \frac{3}{2}(x+y)\)
\(\Rightarrow B\geq \frac{5}{4}(x+y)-\frac{3}{2}\)
Mà cũng theo BĐT AM-GM thì \(x+y\geq 2\sqrt{xy}=2\)
\(\Rightarrow B\geq \frac{5}{4}.2-\frac{3}{2}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$