Question

[Hung Phi]

Tìm $m$ để phương trình $m\ln (1-x)-\ln x=m$ có nghiệm $x \in (0;1)$.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có:

\(m\ln (1-x)-\ln x=m\)

\(\Rightarrow m=\frac{\ln x}{\ln (1-x)-1}\)

Đặt \(f(x)=\frac{\ln x}{\ln (1-x)-1}\) \(\Rightarrow f'(x)=\frac{\frac{1}{x}(\ln (1-x)-1)+\frac{1}{1-x}.\ln x}{(\ln (1-x)-1)^2}\)

Với mọi \(x\in (0;1)\) thì \(\ln x< 0; \ln (1-x)< 0\).

\(\Rightarrow \frac{1}{x}(\ln (1-x)-1)+\frac{1}{1-x}.\ln x< 0\)

\(\Rightarrow f'(x)< 0, \forall x\in (0;1)\) hay hàm $f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$

-----------------

Lại có:

\(\lim _{x\to 0+}\frac{\ln x}{\ln (1-x)-1}=\lim_{x\to 0+}\frac{1}{\ln (1-x)-1}.\lim_{x\to +\infty}\ln x\)

\(-1.(-\infty)=+\infty\)

\(\lim_{x\to 1-}\frac{\ln x}{\ln (1-x)-1}=\lim _{x\to 1-}\ln x.\lim_{x\to 1-}\frac{1}{\ln (1-x)-1}=0.0=0\)

Do đó PT có nghiệm khi \(m\in (0;+\infty)\)