cho bt A=\(\left(a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}\right)-\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\)với a,b,c là các số nguyên.CM A\(⋮\)30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
24 tháng 11 2016
theo bài ra ta có
\(\frac{a^{2015}}{b^{2017}+c^{2019}}=\frac{b^{2017}}{a^{2015}+c^{2019}}=\frac{c^{2019}}{a^{2015}+b^{2017}}\)
=>\(\frac{a^{2015}}{b^{2017}+c^{2019}}+1=\frac{b^{2017}}{a^{2015}+c^{2019}}+1=\frac{c^{2019}}{a^{2015}+b^{2017}}+1\)
=> \(\frac{a^{2015}+b^{2017}+c^{2019}}{b^{2017}+c^{2019}}=\frac{a^{2015}+b^{2017}+c^{2019}}{a^{2015}+c^{2019}}=\frac{a^{2015}+b^{2017}+c^{2019}}{a^{2015}+b^{2017}}\)
- nếu a2015+ b2017 +c2019 = 0
=> b2017+ c2019 = -(a2015) (1)
=> a2015+ c2019= -(b2017) (2)
=> a2015+ b2017= -(c2019) (3)
thay 1, 2, 3 vào S ta có:
S = \(\frac{b^{2017}+c^{2019}}{a^{2015}}+\frac{a^{2015}+c^{2019}}{b^{2017}}+\frac{a^{2015}+b^{2017}}{c^{2019}}\)
=> S =\(\frac{-\left(a^{2015}\right)}{a^{2015}}+\frac{-\left(b^{2017}\right)}{b^{2017}}+\frac{-\left(c^{2019}\right)}{c^{2019}}\)
S = -1 + -1 + -1
S = -3
vậy S ko phụ thuộc vào giá trị a,b,c
- nếu a2015+b2017+c2019 khác 0
=> b2017+c2019 = a2015+c2019=a2015+b2017
=> b2017 = a2015 = c2019
=>S=\(\frac{b^{2017}+c^{2019}}{a^{2015}}+\frac{a^{2015}+c^{2019}}{b^{2017}}+\frac{a^{2015}+b^{2017}}{c^{2019}}=\frac{2a^{2015}}{a^{2015}}+\frac{2b^{2017}}{b^{2017}}+\frac{2c^{2019}}{c^{2019}}=2+2+2=6\)
VẬY S ko phụ thuộc vào các giá trị của a,b,c
từ 2 trường hợp trên => giá trị của biểu thức S ko phụ thuộc vào giá trị của a,b,c (đpcm)
S
30 tháng 10 2018
\(a+b=c+\frac{1}{2019}\Leftrightarrow a+b-c=\frac{1}{2019}\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}=2019\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}+2019\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=2019\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b-c}\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{a+b}{c\left(a+b-c\right)}\Leftrightarrow c\left(a+b-c\right)\left(a+b\right)=\left(a+b\right)ab\)
\(\Leftrightarrow c\left(a+b-c\right)\left(a+b\right)-ab\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ca+bc-c^2-ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[c\left(a-c\right)-b\left(a-c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)=0\)
=>a=-b hoặc c=b hoặc a=c
không mất tính tổng quát, giả sử a=-b, ta có:
\(P=\left(-b^{2019}+b^{2019}-c^{2019}\right)\left(-\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}-\frac{1}{c^{2019}}\right)=\left(-c\right)^{2019}\cdot\left(\frac{-1}{c}\right)^{2019}=1\)
tương tư với các trường hợp khác ta cũng có P=1
Vậy P=1
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2019
\(a;b;c\ne0\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2018}=\frac{1}{a+b+c}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\ab=-c\left(a+b+c\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\ab+ac+bc+c^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\a+c=0\\b+c=0\end{matrix}\right.\)
\(M=\left(a^{2015}+b^{2015}\right)\left(a^{2017}+b^{2017}\right)\left(a^{2019}+b^{2019}\right)\)
- Nếu \(a+b=0\Rightarrow M=0\)
- Nếu \(\left[{}\begin{matrix}a+c=0\\b+c=0\end{matrix}\right.\) thì ko tính được giá trị cụ thể của M
Khi đó \(\left[{}\begin{matrix}M=\left(2018^{2015}+b^{2015}\right)\left(2018^{2017}+b^{2017}\right)\left(2018^{2019}+b^{2019}\right)\\M=\left(2018^{2015}+a^{2015}\right)\left(2018^{2017}+a^{2017}\right)\left(2018^{2019}+a^{2019}\right)\end{matrix}\right.\)
A = \(\left(a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}\right)-\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\)
=> A = \(a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}-a^{2015}-b^{2015}-c^{2015}\)
=> A = \(a^{2019}-a^{2015}+b^{2019}-b^{2015}+c^{2019}-c^{2015}\)
=> A = \(a^{2015}\left(a^4-1\right)+b^{2015}\left(b^4-1\right)+c^{2015}\left(c^4-1\right)\)
Chứng minh A chia hết cho 2 : Nấu a, b, c là các số lẻ thì \(a^4-1,b^4-1,c^4-1\)là các số chẫn
=> A là số chẵn => A chia hết cho 2
Nếu a, b, c là số chẵn thì \(a^{2015},b^{2015},c^{2015}\)là số chẫn => A là số chẵn => A chia hết cho 2
Chứng minh A chia hết cho 5:
Xét số tự nhiên n không chia hết cho 5, chứng minh \(n^4-1\)chia hết cho 5
Ta có : \(n=5k\pm1,n=5k\pm2\)với k là số thự nhiên
\(n^2\)có 1 trong 2 dạng : \(n^2=5k+1\)hoặc \(n^2=5k+4\)
\(n^4\)có duy nhất dang : \(n^4=5k+1\Rightarrow n^4-4=5k\)chia hết cho 5
Áp dụng vói n = a,b,c ta có :
A = \(a^{2015}\left(a^4-1\right)+b^{2015}\left(b^4-1\right)+c^{2015}\left(c^4-1\right)\)chia hết cho 5
Chứng minh A chia hết cho 3
Xét với n là số chính phương thì \(n^2\)chia 3 dư 0 hoặc 1
Do đó nếu \(n^2\)chia 3 dư 0 => A chia hết cho 3 với n = a,b,c
Nếu \(n^2\)chia 3 dư 1 thì \(n^4\)chia 3 dư 1 => \(n^4\)- 1 chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 với n = a,b,c
Vậy A chia hết cho 2 ; 3 ; 5 mà ( 2;3;5 ) = 1
=> A chia hết cho 30